حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 5]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

خطوة 7

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - 0.04 x$ . إذن $d u = - 0.04 d x$ ، لذا $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - 0.04 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

خطوة 8.1.2

بما أن $- 0.04$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 0.04 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

خطوة 8.1.4

اضرب $- 0.04$ في $1$ .

$- 0.04$

خطوة 8.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

خطوة 8.3

اضرب $- 0.04$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 8.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

خطوة 8.5

اضرب $- 0.04$ في $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

خطوة 8.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

خطوة 8.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

خطوة 9.2

اجمع ${2.71828182}^{u}$ و $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

خطوة 11

اضرب $- 1$ في $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{0.04}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{0.04}$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{0.04}$ و $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

خطوة 13.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

خطوة 14

تكامل ${2.71828182}^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اجمع $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ و $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

خطوة 15.2

انقُل $8$ إلى يسار $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

خطوة 16

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

احسِب قيمة $29 x$ في $5$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

خطوة 16.2

احسِب قيمة $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ في $- 0.2$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اضرب $29$ في $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.2

اضرب $- 29$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.3

أضف $145$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.5

ارفع $2.71828182$ إلى القوة $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.6

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ في صورة حاصل ضرب.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.7

اضرب $\frac{1}{1.22140275}$ في $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.8

اضرب $1.22140275$ في $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 16.3.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1.1

اقسِم $1$ على $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.2

لكتابة $0.81873075$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1.4.1

اضرب $0.81873075$ في $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.4.2

اطرح $1$ من $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.6

استبدِل $e$ بقيمة تقريبية.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.7

لوغاريتم $2.71828182$ للأساس $2.71828182$ يساوي $0.99999999$ تقريبًا.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

خطوة 17.1.1.8

اقسِم $0.18126924$ على $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

خطوة 17.1.1.9

اضرب $- 1$ في $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

خطوة 17.1.2

اضرب $8$ في $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

خطوة 17.1.3

اقسِم $- 1.45015397$ على $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

خطوة 17.1.4

اضرب $- 1$ في $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

خطوة 17.2

أضف $145$ و $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

خطوة 18

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

خطوة 18.2

أضف $5$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

خطوة 19

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

خطوة 19.2

اقسِم $181.25384939$ على $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

خطوة 20