حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3$ , $[0, 20]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 20]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x - 2 x^{2} + 3 x^{2} + 14 x + 3 d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أضف $- 2 x^{2}$ و $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} 204 x + x^{2} + 14 x + 3 d x)$

خطوة 5.2

أضف $204 x$ و $14 x$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} + 218 x + 3 d x)$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\int_{0}^{20} x^{2} d x + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + \int_{0}^{20} 218 x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

خطوة 8

بما أن $218$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $218$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 \int_{0}^{20} x d x + \int_{0}^{20} 3 d x)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \int_{0}^{20} 3 d x)$

خطوة 11

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20} + 218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + 3 x]_{0}^{20})$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{20}$ و $3 x]_{0}^{20}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{20}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

خطوة 12.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $20$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x]_{0}^{20})$

خطوة 12.2.2

احسِب قيمة $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x$ في $20$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 ((\frac{20^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.1

ارفع $20$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{400}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $400$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $400$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{2 \cdot 200}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (\frac{200}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.2.2.4

اقسِم $200$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - \frac{0}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 - 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 (200 + 0) + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.6

أضف $200$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (218 \cdot 200 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.7

اضرب $218$ في $200$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 20^{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.8

ارفع $20$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{1}{3} \cdot 8000 + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $8000$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 3 \cdot 20 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.10

اضرب $3$ في $20$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.11

لكتابة $60$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + 60 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.12

اجمع $60$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000}{3} + \frac{60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 60 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.14.1

اضرب $60$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8000 + 180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.14.2

أضف $8000$ و $180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.15

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.16

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 3 \cdot 0))$

خطوة 12.2.3.17

اضرب $3$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - (0 + 0))$

خطوة 12.2.3.18

أضف $0$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} - 0)$

خطوة 12.2.3.19

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3} + 0)$

خطوة 12.2.3.20

أضف $\frac{8180}{3}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 + \frac{8180}{3})$

خطوة 12.2.3.21

لكتابة $43600$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (43600 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8180}{3})$

خطوة 12.2.3.22

اجمع $43600$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3}{3} + \frac{8180}{3})$

خطوة 12.2.3.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{43600 \cdot 3 + 8180}{3})$

خطوة 12.2.3.24

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.3.24.1

اضرب $43600$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{130800 + 8180}{3})$

خطوة 12.2.3.24.2

أضف $130800$ و $8180$ .

$A (x) = \frac{1}{20 - 0} (\frac{138980}{3})$

خطوة 13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20 + 0} \cdot \frac{138980}{3}$

خطوة 13.2

أضف $20$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{138980}{3}$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $20$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $20$ من $138980$ .

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 (6949)}{3}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{20} \cdot \frac{20 \cdot 6949}{3}$

خطوة 14.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{6949}{3}$

خطوة 15