حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (2 x - 1) (x + 4)$ , $(1, 5)$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[1, 5]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} (2 x - 1) (x + 4) d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x (x + 4) - 1 (x + 4) d x)$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4) d x)$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

خطوة 5.4

انقُل $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

خطوة 5.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

خطوة 5.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

خطوة 5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

خطوة 5.8

أضف $1$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

خطوة 5.9

اضرب $2$ في $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

خطوة 5.10

اضرب $- 1$ في $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 4 d x)$

خطوة 5.11

اطرح $1 x$ من $8 x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 7 x - 4 d x)$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 \int_{1}^{5} x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

خطوة 10

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $7$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $5$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $5$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 4 x]_{1}^{5})$

خطوة 14.3

احسِب قيمة $- 4 x$ في $5$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125 - 1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.4

اطرح $1$ من $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{124}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.5

اجمع $2$ و $\frac{124}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{2 \cdot 124}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.6

اضرب $2$ في $124$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.7

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.8

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25 - 1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.10

اطرح $1$ من $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{24}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.11

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.11.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 (1)}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{12}{1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.11.2.4

اقسِم $12$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.12

اضرب $7$ في $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.13

لكتابة $84$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 \cdot \frac{3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.14

اجمع $84$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + \frac{84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.15

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.16

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.16.1

اضرب $84$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 252}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.16.2

أضف $248$ و $252$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.17

اضرب $- 4$ في $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4 \cdot 1)$

خطوة 14.4.18

اضرب $4$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4)$

خطوة 14.4.19

أضف $- 20$ و $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16)$

خطوة 14.4.20

لكتابة $- 16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 14.4.21

اجمع $- 16$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3})$

خطوة 14.4.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 16 \cdot 3}{3})$

خطوة 14.4.23

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.23.1

اضرب $- 16$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 48}{3})$

خطوة 14.4.23.2

اطرح $48$ من $500$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{452}{3})$

خطوة 15

اطرح $1$ من $5$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{452}{3}$

خطوة 16

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج العامل $4$ من $452$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (113)}{3}$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 113}{3}$

خطوة 16.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{113}{3}$

خطوة 17