حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[2, 4]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{8}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{8}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 1.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[2, 4]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{8}{x^{2}} d x)$

خطوة 5

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x)$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

خطوة 6.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x)$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \int_{2}^{4} x^{- 2} d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- x^{- 1}]_{2}^{4}))$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $4$ وفي $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 ((- 4^{- 1}) + 2^{- 1}))$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + 2^{- 1}))$

خطوة 8.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2}))$

خطوة 8.2.3

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

خطوة 8.2.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}))$

خطوة 8.2.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4}))$

خطوة 8.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{- 1 + 2}{4}))$

خطوة 8.2.6

أضف $- 1$ و $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 (\frac{1}{4}))$

خطوة 8.2.7

اجمع $8$ و $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{8}{4})$

خطوة 8.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4})$

خطوة 8.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.8.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 (1)})$

خطوة 8.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1})$

خطوة 8.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\frac{2}{1})$

خطوة 8.2.8.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2)$

خطوة 9

اطرح $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 2$

خطوة 10.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 1$

خطوة 11