حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[2, 4]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 1.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[2, 4]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

خطوة 6.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

خطوة 7

اضرب $(x + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

اضرب $x$ في $x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8.1.2

اطرح $2$ من $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8.2

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

خطوة 10

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\ln (| x |)]_{2}^{4}$ و $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

خطوة 12.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $\ln (| x |) - x^{- 1}$ في $4$ وفي $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

خطوة 12.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

خطوة 12.2.2.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

خطوة 12.2.2.3

لكتابة $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

خطوة 12.2.2.4

اجمع $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ و $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

خطوة 12.2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

خطوة 12.2.2.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

خطوة 13.1.2

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

خطوة 13.1.3

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

خطوة 13.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

خطوة 13.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

خطوة 13.1.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

خطوة 13.1.4.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

خطوة 13.1.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

خطوة 13.1.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

خطوة 13.1.4.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

خطوة 13.1.4.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

خطوة 13.2

لكتابة $2 \ln (2)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

خطوة 13.3

اجمع $2 \ln (2)$ و $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

خطوة 13.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

خطوة 13.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

خطوة 13.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

خطوة 13.6

اضرب $4$ في $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

خطوة 13.7

اطرح $4 \ln (2)$ من $8 \ln (2)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

خطوة 14

اطرح $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

خطوة 15

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

بسّط $4 \ln (2)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

خطوة 15.2

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

خطوة 16

طبّق خاصية التوزيع.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 17

بسّط $\frac{1}{2} \ln (16)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 18

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

خطوة 19

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

خطوة 19.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

خطوة 19.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

خطوة 19.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

خطوة 19.4

احسِب قيمة الأُس.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

خطوة 20