حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[1, 3]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 1.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 1.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[1, 3]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

خطوة 5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

خطوة 6.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

خطوة 7

اضرب $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8.1.2

اطرح $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8.2

بسّط $x^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

خطوة 8.3

اضرب $x^{- 2}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

خطوة 9

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

خطوة 10

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

خطوة 12

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $x]_{1}^{3}$ و $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

خطوة 12.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

احسِب قيمة $x - x^{- 1}$ في $3$ وفي $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

خطوة 12.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

خطوة 12.2.2.2

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

خطوة 12.2.2.3

اجمع $3$ و $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

خطوة 12.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

خطوة 12.2.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.5.1

اضرب $3$ في $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

خطوة 12.2.2.5.2

اطرح $1$ من $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

خطوة 12.2.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

خطوة 12.2.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

خطوة 12.2.2.8

اطرح $1$ من $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

خطوة 12.2.2.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

خطوة 12.2.2.10

أضف $\frac{8}{3}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

خطوة 12.2.2.11

اجمع $4$ و $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

خطوة 12.2.2.12

اضرب $4$ في $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

خطوة 13

اطرح $1$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $2$ من $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

خطوة 14.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{16}{3}$

خطوة 15