حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7$ , $(0, 4)$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 4]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} + 12 x^{2} - 7 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

خطوة 9

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 \int_{0}^{4} x^{2} d x + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - 7 d x)$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $\frac{x^{4}}{4}$ في $4$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}) + - 7 x]_{0}^{4})$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + - 7 x]_{0}^{4})$

خطوة 13.3

احسِب قيمة $- 7 x$ في $4$ وفي $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $256$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.2.2.4

اقسِم $64$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.4.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 - 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 (64 + 0) + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.6

أضف $64$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (2 \cdot 64 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.7

اضرب $2$ في $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.8

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.10.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} - 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3} + 0) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.12

أضف $\frac{64}{3}$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 12 (\frac{64}{3}) - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.13

اجمع $12$ و $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{12 \cdot 64}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.14

اضرب $12$ في $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{768}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.15

احذِف العامل المشترك لـ $768$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.15.1

أخرِج العامل $3$ من $768$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.15.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 (1)} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{3 \cdot 256}{3 \cdot 1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + \frac{256}{1} - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.15.2.4

اقسِم $256$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (128 + 256 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.16

أضف $128$ و $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 7 \cdot 4 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.17

اضرب $- 7$ في $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 7 \cdot 0)$

خطوة 13.4.18

اضرب $7$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28 + 0)$

خطوة 13.4.19

أضف $- 28$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (384 - 28)$

خطوة 13.4.20

اطرح $28$ من $384$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (356)$

خطوة 14

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 356$

خطوة 14.2

أضف $4$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 356$

خطوة 15

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $4$ من $356$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 (89))$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 89)$

خطوة 15.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 89$

خطوة 16