حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , $[- 1, 11]$

خطوة 1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[- 1, 11]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} - 4 x + 5 d x)$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \int_{- 1}^{11} x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

خطوة 9

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 \int_{- 1}^{11} x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $11$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $11$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

خطوة 13.3

احسِب قيمة $5 x$ في $11$ وفي $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

ارفع $11$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{- 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.5

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331 + 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.7

أضف $1331$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1332}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $1332$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.8.1

أخرِج العامل $3$ من $1332$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 (1)}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{444}{1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.8.2.4

اقسِم $444$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \cdot 444 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.9

اضرب $2$ في $444$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.10

ارفع $11$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.11

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.12

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{121 - 1}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.13

اطرح $1$ من $121$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{120}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.14

احذِف العامل المشترك لـ $120$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.14.1

أخرِج العامل $2$ من $120$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 (1)} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{60}{1}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.14.2.4

اقسِم $60$ على $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \cdot 60 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.15

اضرب $- 4$ في $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 240 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.16

اطرح $240$ من $888$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.17

اضرب $5$ في $11$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 - 5 \cdot - 1)$

خطوة 13.4.18

اضرب $- 5$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 + 5)$

خطوة 13.4.19

أضف $55$ و $5$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 60)$

خطوة 13.4.20

أضف $648$ و $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (708)$

خطوة 14

أضف $11$ و $1$ .

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot 708$

خطوة 15

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أخرِج العامل $12$ من $708$ .

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 (59))$

خطوة 15.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 59)$

خطوة 15.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = 59$

خطوة 16