حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x}$ , $[4, 6]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[4, 6]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 1.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 0}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[4, 6]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\int_{4}^{6} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 5

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| x |)]_{4}^{6})$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $6$ وفي $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (| 6 |) - \ln (| 4 |))$

خطوة 6.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{| 6 |}{| 4 |}))$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $6$ تساوي $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{| 4 |}))$

خطوة 6.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{6}{4}))$

خطوة 6.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 (3)}{4}))$

خطوة 6.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

خطوة 6.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}))$

خطوة 6.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6 - 4} (\ln (\frac{3}{2}))$

خطوة 7

اطرح $4$ من $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 8

بسّط $\frac{1}{2} \ln (\frac{3}{2})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$A (x) = \ln ({(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \ln (\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 10