حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ , $[0, 5]$

خطوة 1

لإيجاد متوسط قيمة الدالة، ينبغي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المغلقة $[a, b]$ . ولمعرفة ما إذا كانت $f (x)$ متصلة في $[0, 5]$ أم لا، أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 6)}^{2} = 0$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 1.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 1.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 6}$

ترميز الفترة:

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \neq 6}$

خطوة 2

$f (x)$ متصلة على $[0, 5]$ .

$f (x)$ متصلة

خطوة 3

يُعرف متوسط قيمة الدالة $f$ على مدى الفترة $[a, b]$ بأنه $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

خطوة 4

عوّض بالقيم الفعلية في قاعدة القيمة المتوسطة لدالة.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} \frac{1}{{(x - 6)}^{2}} d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = x - 6$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = x - 6$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

خطوة 5.1.4

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 5.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x - 6$ .

$u_{lower} = 0 - 6$

خطوة 5.3

اطرح $6$ من $0$ .

$u_{lower} = - 6$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x - 6$ .

$u_{upper} = 5 - 6$

خطوة 5.5

اطرح $6$ من $5$ .

$u_{upper} = - 1$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 6$

$u_{upper} = - 1$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 6

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} {(u^{2})}^{- 1} d u)$

خطوة 6.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{2 \cdot - 1} d u)$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{- 6}^{- 1} u^{- 2} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- u^{- 1}]_{- 6}^{- 1})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $- 1$ وفي $- 6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 6)}^{- 1})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- \frac{1}{- 1} + {(- 6)}^{- 1})$

خطوة 8.2.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{1}{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (- (- 1 \cdot 1) + {(- 6)}^{- 1})$

خطوة 8.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

خطوة 8.2.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + {(- 6)}^{- 1})$

خطوة 8.2.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 + \frac{1}{- 6})$

خطوة 8.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (1 - \frac{1}{6})$

خطوة 8.2.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6}{6} - \frac{1}{6})$

خطوة 8.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{6 - 1}{6})$

خطوة 8.2.9

اطرح $1$ من $6$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{5}{6})$

خطوة 9

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot \frac{5}{6}$

خطوة 9.2

أضف $5$ و $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

خطوة 10

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ألغِ العامل المشترك.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{6}$

خطوة 10.2

أعِد كتابة العبارة.

$A (x) = \frac{1}{6}$

خطوة 11