حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{2}}{x + 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x + 2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 2$ .

$4 \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \frac{(x + 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $x + 2$ .

$4 \frac{2 \cdot (x + 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 \frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.3.6.3

اجمع $4$ و $\frac{2 (x + 2) x - x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x + 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot 2) x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot 2 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (4 x) + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.1.4

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x + 4 (- x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.1.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 16 x - 4 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.4.2

اطرح $4 x^{2}$ من $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.5

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2} + 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 16 x}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.5.2

أخرِج العامل $4 x$ من $16 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (4)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 1.4.5.3

أخرِج العامل $4 x$ من $4 x (x) + 4 x (4)$ .

$\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{4 x (x + 4)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x (x + 4) = 0$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

خطوة 2.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.2.3

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 2.2.3.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 2.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 x (x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 4$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ عند $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \frac{4 {(0)}^{2}}{(0) + 2}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $(0) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 {(0)}^{2}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{(0) + 2}$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 (0) + 2}$

خطوة 3.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot 1}$

خطوة 3.2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 0 + 2 \cdot 1$ .

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

خطوة 3.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (0) = \frac{2 (2 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 + 1)}$

خطوة 3.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (0) = \frac{2 {(0)}^{2}}{0 + 1}$

خطوة 3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{0 + 1}$

خطوة 3.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (0) = \frac{2 \cdot 0}{1}$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = \frac{0}{1}$

خطوة 3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ عند $x = - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 4$ في العبارة.

$f (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{2}}{(- 4) + 2}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $(- 4) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4 {(- 4)}^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{(- 4) + 2}$

خطوة 4.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2}$

خطوة 4.2.1.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot - 2 + 2 (1)}$

خطوة 4.2.1.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 2 + 2 (1)$ .

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

خطوة 4.2.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 4) = \frac{2 (2 {(- 4)}^{2})}{2 \cdot (- 2 + 1)}$

خطوة 4.2.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 4) = \frac{2 {(- 4)}^{2}}{- 2 + 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 2 + 1}$

خطوة 4.2.2.2

أضف $- 2$ و $1$ .

$f (- 4) = \frac{2 \cdot 16}{- 1}$

خطوة 4.2.2.3

اضرب $2$ في $16$ .

$f (- 4) = \frac{32}{- 1}$

خطوة 4.2.2.4

اقسِم $32$ على $- 1$ .

$f (- 4) = - 32$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $- 32$ .

$- 32$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = \frac{4 x^{2}}{x + 2}$ هي $y = 0, y = - 32$ .

$y = 0, y = - 32$

خطوة 6