حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{5}{e^{5 x}} - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{5}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int \frac{1}{e^{5 x}} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اعكِس علامة أُس $e^{5 x}$ وأخرِجها من القاسم.

$5 \int 1 {(e^{5 x})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{5 x})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int 1 e^{5 x \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$5 \int 1 e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $e^{- 5 x}$ في $1$ .

$5 \int e^{- 5 x} d x + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = - 5 x$ . إذن $d u = - 5 d x$ ، لذا $- \frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = - 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 5$ في $1$ .

$- 5$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 5.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{5}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{5} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 7

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$- 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\frac{1}{5}$ و $- 5$ .

$\frac{- 5}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 9.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 9.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 9.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{1} \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 9.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \int e^{u} d u + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C) + \int - \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- (e^{u} + C) - \int \frac{2}{5 x} d x$

خطوة 12

بما أن $\frac{2}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{5}$ خارج التكامل.

$- (e^{u} + C) - (\frac{2}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

خطوة 13

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- (e^{u} + C) - \frac{2}{5} (\ln (| x |) + C)$

خطوة 14

بسّط.

$- e^{u} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$

خطوة 15

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 5 x$ .

$- e^{- 5 x} - \frac{2}{5} \ln (| x |) + C$