حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$2 x + 4 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.3

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \cdot 1$

خطوة 1.4.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6$

خطوة 1.5

أضف $2 x + 4 y$ و $0$ .

$2 x + 4 y - 6$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 4 y - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (4 y) + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + \frac{d}{d x} (- 6)$

خطوة 2.3.2

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0 + 0$

خطوة 2.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2$ و $0$ .

$f'' (x) = 2 + 0$

خطوة 2.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$f'' (x) = 2$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 x + 4 y - 6 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 4.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $4 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$2 x + 4 y + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 4.1.3

بما أن $y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 4 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

خطوة 4.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6 \cdot 1$

خطوة 4.1.4.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$2 x + 4 y + 0 - 6$

خطوة 4.1.5

أضف $2 x + 4 y$ و $0$ .

$f' (x) = 2 x + 4 y - 6$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x + 4 y - 6$ .

$2 x + 4 y - 6$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $2 x + 4 y - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 4 y - 6 = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $4 y$ من كلا المتعادلين.

$2 x - 6 = - 4 y$

خطوة 5.2.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = - 4 y + 6$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $2 x = - 4 y + 6$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 4 y + 6$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4 y}{2} + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 y$ .

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2} + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2 (1)} + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 (- 2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{- 2 y}{1} + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.3.1.1.2.4

اقسِم $- 2 y$ على $1$ .

$x = - 2 y + \frac{6}{2}$

خطوة 5.3.3.1.2

اقسِم $6$ على $2$ .

$x = - 2 y + 3$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 2 y + 3$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 2 y + 3$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2$

خطوة 9

$x = - 2 y + 3$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 2 y + 3$ هي حد أدنى محلي

خطوة 10

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 2 y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2 y + 3$ في العبارة.

$f (- 2 y + 3) = {(- 2 y + 3)}^{2} + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

أعِد كتابة ${(- 2 y + 3)}^{2}$ بالصيغة $(- 2 y + 3) (- 2 y + 3)$ .

$f (- 2 y + 3) = (- 2 y + 3) (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.2

وسّع $(- 2 y + 3) (- 2 y + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y + 3) + 3 (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y + 3) + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 y + 3) = - 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.3.1.2.1

انقُل $y$ .

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3.1.2.2

اضرب $y$ في $y$ .

$f (- 2 y + 3) = - 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 2 y \cdot 3 + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3.1.4

اضرب $3$ في $- 2$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y + 3 (- 2 y) + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3.1.5

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 3 \cdot 3 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3.1.6

اضرب $3$ في $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 6 y - 6 y + 9 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.3.2

اطرح $6 y$ من $- 6 y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + 4 (- 2 y + 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (4 (- 2 y) + 4 \cdot 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.5

اضرب $- 2$ في $4$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (- 8 y + 4 \cdot 3) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.6

اضرب $4$ في $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 + (- 8 y + 12) \cdot y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y \cdot y + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.8

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.8.1

انقُل $y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 (y \cdot y) + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.8.2

اضرب $y$ في $y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y + 3)$

خطوة 10.2.1.9

طبّق خاصية التوزيع.

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} - 6 (- 2 y) - 6 \cdot 3$

خطوة 10.2.1.10

اضرب $- 2$ في $- 6$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 6 \cdot 3$

خطوة 10.2.1.11

اضرب $- 6$ في $3$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 18$

خطوة 10.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 y^{2} - 12 y + 9 - 8 y^{2} + 12 y + y^{2} + 12 y - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

أضف $- 12 y$ و $12 y$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} + 9 - 8 y^{2} + 0 + y^{2} + 12 y - 18$

خطوة 10.2.2.1.2

أضف $4 y^{2} + 9 - 8 y^{2}$ و $0$ .

$f (- 2 y + 3) = 4 y^{2} + 9 - 8 y^{2} + y^{2} + 12 y - 18$

خطوة 10.2.2.2

اطرح $8 y^{2}$ من $4 y^{2}$ .

$f (- 2 y + 3) = - 4 y^{2} + 9 + y^{2} + 12 y - 18$

خطوة 10.2.2.3

أضف $- 4 y^{2}$ و $y^{2}$ .

$f (- 2 y + 3) = - 3 y^{2} + 9 + 12 y - 18$

خطوة 10.2.2.4

اطرح $18$ من $9$ .

$f (- 2 y + 3) = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

خطوة 10.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ .

$y = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

خطوة 11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x^{2} + 4 x y + y^{2} - 6 x$ .

$(- 2 y + 3, - 3 y^{2} + 12 y - 9)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 12