حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{\frac{4}{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}$

خطوة 1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 1.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}$

خطوة 1.5.2

اطرح $3$ من $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 1.6

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{4}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 2.6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 2.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 2.9

اضرب $\frac{4}{3}$ في $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3}$

خطوة 2.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اضرب $3$ في $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

خطوة 2.10.2

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 4.1.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}$

خطوة 4.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}$

خطوة 4.1.5.2

اطرح $3$ من $4$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}$

خطوة 4.1.6

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 x^{\frac{1}{3}} = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $4 x^{\frac{1}{3}} = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اقسِم كل حد في $4 x^{\frac{1}{3}} = 0$ على $4$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.3.1.2.2

اقسِم $x^{\frac{1}{3}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{0}{4}$

خطوة 5.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 0$

خطوة 5.3.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $3$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.3.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 5.3.3.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = 0^{3}$

خطوة 5.3.3.1.1.2

بسّط.

$x = 0^{3}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x = 0$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 9.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}}$

خطوة 9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{4}{9 \cdot 0}$

خطوة 9.3.2

اضرب $9$ في $0$ .

$\frac{4}{0}$

خطوة 9.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{4}{0}$

خطوة 9.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 10

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 10.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, \infty)$ في المشتق الأول $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2.1.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2.1.4

اجمع $2$ و $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2.1.6.2

أضف $6$ و $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3}$

خطوة 10.3.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3}$

خطوة 10.4

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 0$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11