حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{5 + y^{2}} - x^{3} + 5 = 0$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5 + y^{2}}$ في صورة ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5 = 0$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - x^{3} + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 5 + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $5 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $5 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 + y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.3

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.11

أضف $0$ و $2 y y'$ .

$\frac{1}{2} {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.13

اجمع $2$ و $\frac{{(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (y y') + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.14

اجمع $y$ و $\frac{2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.15

اجمع $\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}})}{2}$ و $y'$ .

$\frac{y (2 {(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}) y'}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.16

انقُل ${(5 + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y \cdot 2 y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.17

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{2 \cdot y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.18

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y y'}{2 {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.19

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2} + 0$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{2}$

خطوة 3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 3 x^{2} + \frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أضف $3 x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 3 x^{2}$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{{(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.4

اقسِم كل حد في $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على $y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اقسِم كل حد في $y y' = 3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ على $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

خطوة 6.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

خطوة 6.4.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$

خطوة 7

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} {(5 + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y}$