حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x e^{k x}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{k x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = k x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3

اضرب $k$ في $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

خطوة 1.3.5

اضرب $e^{k x}$ في $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

خطوة 1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $k x e^{k x} + e^{k x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}] + \frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (k x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [k x e^{k x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k x e^{k x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [x e^{k x}]$ .

$f'' (x) = k \frac{d}{d x} (x e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.2

$f'' (x) = k (x \frac{d}{d x} (e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = k x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $k x$ .

$f'' (x) = k (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.4

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.7

اضرب $k$ في $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.2.8

اضرب $e^{k x}$ في $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d x} (e^{k x})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{k x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = k x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (k x)$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (k x)$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $k x$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} \frac{d}{d x} (k x)$

خطوة 2.3.2

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} (k \cdot 1)$

خطوة 2.3.4

اضرب $k$ في $1$ .

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k) + e^{k x}) + e^{k x} k$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = k (x (e^{k x} k)) + k e^{k x} + e^{k x} k$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

خطوة 2.4.2.2

ارفع $k$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = k \cdot k (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

خطوة 2.4.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = k^{1 + 1} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

خطوة 2.4.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + e^{k x} k$

خطوة 2.4.2.5

أضف $k e^{k x}$ و $e^{k x} k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.5.1

أعِد ترتيب $e^{k x}$ و $k$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + k e^{k x} + k e^{k x}$

خطوة 2.4.2.5.2

أضف $k e^{k x}$ و $k e^{k x}$ .

$f'' (x) = k^{2} (x (e^{k x})) + 2 k e^{k x}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$

خطوة 2.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{k x} k^{2} x + 2 e^{k x} k$ .

$f'' (x) = k^{2} x e^{k x} + 2 k e^{k x}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{k x}] + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = k x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $k x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $k x$ .

$x (e^{k x} \frac{d}{d x} [k x]) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $k$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $k x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $k \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{k x} (k \frac{d}{d x} [x])) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{k x} (k \cdot 1)) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $k$ في $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x} \cdot 1$

خطوة 4.1.3.5

اضرب $e^{k x}$ في $1$ .

$x (e^{k x} k) + e^{k x}$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{k x} k x + e^{k x}$

خطوة 4.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{k x} k x + e^{k x}$ .

$f' (x) = k x e^{k x} + e^{k x}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

$k x e^{k x} + e^{k x}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $k x e^{k x} + e^{k x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$k x e^{k x} + e^{k x} = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $e^{k x}$ من $k x e^{k x} + e^{k x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $e^{k x}$ من $k x e^{k x}$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} = 0$

خطوة 5.2.2

اضرب في $1$ .

$e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1 = 0$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $e^{k x}$ من $e^{k x} (k x) + e^{k x} \cdot 1$ .

$e^{k x} (k x + 1) = 0$

خطوة 5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{k x} = 0$

$k x + 1 = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة العبارة $e^{k x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عيّن قيمة $e^{k x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{k x} = 0$

خطوة 5.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{k x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{k x}) = \ln (0)$

خطوة 5.4.2.2

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

وسّع $\ln (e^{k x})$ بنقل $k x$ خارج اللوغاريتم.

$k x \ln (e) = \ln (0)$

خطوة 5.4.2.2.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$k x \cdot 1 = \ln (0)$

خطوة 5.4.2.2.3

اضرب $k$ في $1$ .

$k x = \ln (0)$

خطوة 5.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.4.2.4

اقسِم كل حد في $k x = Undefined$ على $k$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.1

اقسِم كل حد في $k x = Undefined$ على $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

خطوة 5.4.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{k x}{k} = \frac{Undefined}{k}$

خطوة 5.4.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{Undefined}{k}$

خطوة 5.5

عيّن قيمة العبارة $k x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عيّن قيمة $k x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$k x + 1 = 0$

خطوة 5.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $k x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$k x = - 1$

خطوة 5.5.2.2

اقسِم كل حد في $k x = - 1$ على $k$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $k x = - 1$ على $k$ .

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

خطوة 5.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{k x}{k} = \frac{- 1}{k}$

خطوة 5.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{k}$

خطوة 5.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{k}$

خطوة 5.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{k x} (k x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{k}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - \frac{1}{k}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{1}{k}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$k^{2} (- \frac{1}{k}) e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- k^{2} \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

أخرِج العامل $k$ من $- k^{2}$ .

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$k (- k) \frac{1}{k} e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- k e^{k (- \frac{1}{k})} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- k e^{- k \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.4.1

أخرِج العامل $k$ من $- k$ .

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$- k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- k e^{- 1} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- k \frac{1}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.6

اجمع $\frac{1}{e}$ و $k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k (- \frac{1}{k})}$

خطوة 9.1.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- k \frac{1}{k}}$

خطوة 9.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.8.1

أخرِج العامل $k$ من $- k$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

خطوة 9.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{k \cdot - 1 \frac{1}{k}}$

خطوة 9.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{k}{e} + 2 k e^{- 1}$

خطوة 9.1.9

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{k}{e} + 2 k \frac{1}{e}$

خطوة 9.1.10

اضرب $2 k \frac{1}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.10.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + k \frac{2}{e}$

خطوة 9.1.10.2

اجمع $k$ و $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{k \cdot 2}{e}$

خطوة 9.1.11

انقُل $2$ إلى يسار $k$ .

$- \frac{k}{e} + \frac{2 k}{e}$

خطوة 9.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- k + 2 k}{e}$

خطوة 9.2.2

أضف $- k$ و $2 k$ .

$\frac{k}{e}$

خطوة 10

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 10.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, \infty)$ في المشتق الأول $k x e^{k x} + e^{k x}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = k (0) \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

خطوة 10.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

اضرب $k$ في $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{k (0)} + e^{k (0)}$

خطوة 10.2.2.1.2

اضرب $k$ في $0$ .

$f' (0) = 0 \cdot e^{0} + e^{k (0)}$

خطوة 10.2.2.1.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{k (0)}$

خطوة 10.2.2.1.4

اضرب $0$ في $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{k (0)}$

خطوة 10.2.2.1.5

اضرب $k$ في $0$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

خطوة 10.2.2.1.6

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

خطوة 10.2.2.2

أضف $0$ و $1$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 10.2.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 10.3

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية لـ $f (x) = x e^{k x}$ .

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية

خطوة 11