حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $0.3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.3 x^{1.25}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 1.2.3

اضرب $1.25$ في $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 1.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1.5$ في $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $88.6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $88.6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $0.375 x^{0.25} - 1.5$ و $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $0.375 x^{0.25} - 1.5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (0.375 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [0.375 x^{0.25}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $0.375$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.375 x^{0.25}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.375 \frac{d}{d x} [x^{0.25}]$ .

$f'' (x) = 0.375 \frac{d}{d x} (x^{0.25}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 0.25$ .

$f'' (x) = 0.375 (0.25 x^{- 0.75}) + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

خطوة 2.2.3

اضرب $0.25$ في $0.375$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + \frac{d}{d x} (- 1.5)$

خطوة 2.3

بما أن $- 1.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1.5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0.09375 x^{- 0.75} + 0$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0.09375 (\frac{1}{x^{0.75}}) + 0$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اجمع $0.09375$ و $\frac{1}{x^{0.75}}$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}} + 0$

خطوة 2.4.2.2

أضف $\frac{0.09375}{x^{0.75}}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{0.09375}{x^{0.75}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$ .

$\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [0.3 x^{1.25}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $0.3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $0.3 x^{1.25}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}]$ .

$0.3 \frac{d}{d x} [x^{1.25}] + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1.25$ .

$0.3 (1.25 x^{0.25}) + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $1.25$ في $0.3$ .

$0.375 x^{0.25} + \frac{d}{d x} [- 1.5 x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 1.5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 1.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 1.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 1.5$ في $1$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + \frac{d}{d x} [88.6]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $88.6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $88.6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $0.375 x^{0.25} - 1.5$ و $0$ .

$f' (x) = 0.375 x^{0.25} - 1.5$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $0.375 x^{0.25} - 1.5$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$0.375 x^{0.25} - 1.5 = 0$

خطوة 5.2

أضف $1.5$ إلى كلا المتعادلين.

$0.375 x^{0.25} = 1.5$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $0.375 x^{0.25} = 1.5$ على $0.375$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $0.375 x^{0.25} = 1.5$ على $0.375$ .

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $0.375$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{0.375 x^{0.25}}{0.375} = \frac{1.5}{0.375}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x^{0.25}$ على $1$ .

$x^{0.25} = \frac{1.5}{0.375}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم $1.5$ على $0.375$ .

$x^{0.25} = 4$

خطوة 5.4

حوّل الأُس العشري إلى أُس كسري.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

حوّل العدد العشري إلى كسر برفعه إلى قوة عشرة. ونظرًا إلى وجود $2$ من الأعداد على يمين العلامة العشرية، ارفع العدد العشري إلى $10^{2}$ $(100)$ . وبعد ذلك، أضف العدد الصحيح على يسار العلامة العشرية.

$x^{0 \frac{25}{100}} = 4$

خطوة 5.4.2

اختزِل الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

حوّل $0 \frac{25}{100}$ إلى كسر غير فعلي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

العدد الكسري هو مجموع جزئيه الصحيح والكسري.

$x^{0 + \frac{25}{100}} = 4$

خطوة 5.4.2.1.2

أضف $0$ و $\frac{25}{100}$ .

$x^{\frac{25}{100}} = 4$

خطوة 5.4.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $25$ و $100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$x^{\frac{25 (1)}{100}} = 4$

خطوة 5.4.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $100$ .

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

خطوة 5.4.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} = 4$

خطوة 5.4.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{1}{4}} = 4$

خطوة 5.5

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{1}{0.25}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

خطوة 5.6

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{4}})}^{\frac{1}{0.25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

خطوة 5.6.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $0.25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1.2.1

أخرِج العامل $0.25$ من $1$ .

$x^{\frac{0.25 (4)}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

خطوة 5.6.1.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{0.25 \cdot 4}{4} \cdot \frac{1}{0.25}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

خطوة 5.6.1.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{4}{4}} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

خطوة 5.6.1.1.1.3

اقسِم $4$ على $4$ .

$x^{1} = 4^{\frac{1}{0.25}}$

خطوة 5.6.1.1.2

بسّط.

$x = 4^{\frac{1}{0.25}}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

بسّط $4^{\frac{1}{0.25}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

اقسِم $1$ على $0.25$ .

$x = 4^{4}$

خطوة 5.6.2.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$x = 256$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

غيّر $0.25$ إلى كسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.1

اضرب في $\frac{100}{100}$ لحذف العلامة العشرية.

$0.375 x^{\frac{100 \cdot 0.25}{100}} - 1.5$

خطوة 6.1.1.2

اضرب $100$ في $0.25$ .

$0.375 x^{\frac{25}{100}} - 1.5$

خطوة 6.1.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $25$ و $100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.1

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$0.375 x^{\frac{25 (1)}{100}} - 1.5$

خطوة 6.1.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1.3.2.1

أخرِج العامل $25$ من $100$ .

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

خطوة 6.1.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$0.375 x^{\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}} - 1.5$

خطوة 6.1.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$0.375 x^{\frac{1}{4}} - 1.5$

خطوة 6.1.2

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$0.375 \sqrt[4]{x^{1}} - 1.5$

خطوة 6.1.3

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$0.375 \sqrt[4]{x} - 1.5$

خطوة 6.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt[4]{x}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x < 0$

خطوة 6.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 256$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 256$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{0.09375}{{(256)}^{0.75}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ارفع $256$ إلى القوة $0.75$ .

$\frac{0.09375}{64}$

خطوة 9.2

اقسِم $0.09375$ على $64$ .

$0.00146484$

خطوة 10

$x = 256$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 256$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 256$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $256$ في العبارة.

$f (256) = 0.3 {(256)}^{1.25} - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ارفع $256$ إلى القوة $1.25$ .

$f (256) = 0.3 \cdot 1024 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $0.3$ في $1024$ .

$f (256) = 307.2 - 1.5 \cdot 256 + 88.6$

خطوة 11.2.1.3

اضرب $- 1.5$ في $256$ .

$f (256) = 307.2 - 384 + 88.6$

خطوة 11.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اطرح $384$ من $307.2$ .

$f (256) = - 76.8 + 88.6$

خطوة 11.2.2.2

أضف $- 76.8$ و $88.6$ .

$f (256) = 11.8$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $11.8$ .

$y = 11.8$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 0.3 x^{1.25} - 1.5 x + 88.6$ .

$(256, 11.8)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13