حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x^{2} + 24$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.4.2

اضرب $x^{2} + 24$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24]}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 24$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [24])}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.7

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $24$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.3.2

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 24 = - 24$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $4$ زائد $- 6$

$\frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x + 4$ .

$\frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 4)) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.9

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 1.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = - 1$ و $g (x) = \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.2

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 24)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{2 \cdot 2}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 4) (x + 6)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x - 4$ و $g (x) = x + 6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \frac{d}{d x} (x + 6) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (6)) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} ((x - 4) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.4.2

اضرب $x - 4$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \frac{d}{d x} (x - 4)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.7

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) (1 + 0)) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + (x + 6) \cdot 1) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.8.2

اضرب $x + 6$ في $1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (x - 4 + x + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x - 4 + 6) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.5.8.4

أضف $- 4$ و $6$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 24)}^{2}}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 24$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - (x - 4) (x + 6) (2 (x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.7

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.7.2

أخرِج العامل $x^{2} + 24$ من ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 24$ من ${(x^{2} + 24)}^{2} (2 x + 2)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) - 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.7.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 24$ من $- 2 (x - 4) (x + 6) ((x^{2} + 24) \frac{d}{d x} [x^{2} + 24])$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.7.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 24$ من $(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2)) + (x^{2} + 24) (- 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 24]))$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{{(x^{2} + 24)}^{4}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.8

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أخرِج العامل $x^{2} + 24$ من ${(x^{2} + 24)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) ((x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24)))}{(x^{2} + 24) {(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.8.2

ألغِ العامل المشترك.

خطوة 2.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 24$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.11

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $24$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 2 (x - 4) (x + 6) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.12.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

خطوة 2.13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} \cdot 0$

خطوة 2.14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

اضرب $\frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ في $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}} + 0$

خطوة 2.14.2

أضف $- \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ و $0$ .

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) - 4 (x - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{(x^{2} + 24) (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.1

وسّع $(x^{2} + 24) (2 x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x + 2) + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x + 2) + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.2.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.2.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 24 (2 x) + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2.4

اضرب $2$ في $24$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 24 \cdot 2 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.2.5

اضرب $24$ في $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x - 4 \cdot - 4) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.3

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x + 16) (x + 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.4

وسّع $(- 4 x + 16) (x + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x (x + 6) + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 (x + 6)) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 4 x \cdot 6 + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.5.1.2

اضرب $6$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 16 \cdot 6) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.5.1.3

اضرب $16$ في $6$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 24 x + 16 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.5.2

أضف $- 24 x$ و $16 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 + (- 4 x^{2} - 8 x + 96) x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{2} x - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.7.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.7.1.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.7.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.7.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 (x \cdot x^{2}) - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{1 + 2} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.7.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x \cdot x + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.7.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.2.1.7.2.1

انقُل $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 (x \cdot x) + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.1.7.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.2

اطرح $4 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 48 x + 48 - 8 x^{2} + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.3

اطرح $8 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 48 x + 48 + 96 x}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.2.4

أضف $48 x$ و $96 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 144 x + 48$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.15.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 144 x + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.3.3

أخرِج العامل $2$ من $144 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 48}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.3.4

أخرِج العامل $2$ من $48$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.3.6

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.3.7

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x) + 2 (24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 72 x + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.7

أخرِج العامل $- 1$ من $72 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 72 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.9

أعِد كتابة $24$ بالصيغة $- 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 \cdot - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x) - 1 (- 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.11

أعِد كتابة $- (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ بالصيغة $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24))}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 2.15.13

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}})$

خطوة 2.15.14

اضرب $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 72 x - 24)}{{(x^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 24) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $x^{2} + 24$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 24)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 24$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (24))}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.7

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $24$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.8.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x \cdot x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.1.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 24 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.3.2

اطرح $2 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 24 - 2 x}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.5.1

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.5.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.5.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $4$ زائد $- 6$

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (4 - 6) x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 x - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} + 4 x) - 6 x + 24}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$f' (x) = \frac{x (- x + 4) + 6 (- x + 4)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(- x + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) + 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.9

أعِد كتابة $- (x - 4)$ بالصيغة $- 1 (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.1.3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (x) = - \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{(x - 4) (x + 6)}{{(x^{2} + 24)}^{2}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$(x - 4) (x + 6) = 0$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 6 = 0$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 5.3.2.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة العبارة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

عيّن قيمة $x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 6 = 0$

خطوة 5.3.3.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$x = - 6$

خطوة 5.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x + 6) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 6$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 4, - 6$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 4$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{2 ({(4)}^{3} + 3 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{({(4)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 4^{2} - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 (64 + 3 \cdot 16 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9.1.3

اضرب $3$ في $16$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 72 \cdot 4 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 72$ في $4$ .

$\frac{2 (64 + 48 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9.1.5

أضف $64$ و $48$ .

$\frac{2 (112 - 288 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9.1.6

اطرح $288$ من $112$ .

$\frac{2 (- 176 - 24)}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9.1.7

اطرح $24$ من $- 176$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(4^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{{(16 + 24)}^{3}}$

خطوة 9.2.2

أضف $16$ و $24$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{40^{3}}$

خطوة 9.2.3

ارفع $40$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2 \cdot - 200}{64000}$

خطوة 9.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $2$ في $- 200$ .

$\frac{- 400}{64000}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 400$ و $64000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $400$ من $- 400$ .

$\frac{400 (- 1)}{64000}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $400$ من $64000$ .

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{400 \cdot - 1}{400 \cdot 160}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{160}$

خطوة 9.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{160}$

خطوة 10

$x = 4$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 4$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = \frac{(4) + 1}{{(4)}^{2} + 24}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $4$ و $1$ .

$f (4) = \frac{5}{4^{2} + 24}$

خطوة 11.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (4) = \frac{5}{16 + 24}$

خطوة 11.2.2.2

أضف $16$ و $24$ .

$f (4) = \frac{5}{40}$

خطوة 11.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $40$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$f (4) = \frac{5 (1)}{40}$

خطوة 11.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $40$ .

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

خطوة 11.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (4) = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}$

خطوة 11.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (4) = \frac{1}{8}$

خطوة 11.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{1}{8}$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 6$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{2 ({(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 {(- 6)}^{2} - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13.1.2

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 (- 216 + 3 \cdot 36 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13.1.3

اضرب $3$ في $36$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 - 72 \cdot - 6 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13.1.4

اضرب $- 72$ في $- 6$ .

$\frac{2 (- 216 + 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13.1.5

أضف $- 216$ و $108$ .

$\frac{2 (- 108 + 432 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13.1.6

أضف $- 108$ و $432$ .

$\frac{2 (324 - 24)}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13.1.7

اطرح $24$ من $324$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{({(- 6)}^{2} + 24)}^{3}}$

خطوة 13.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$\frac{2 \cdot 300}{{(36 + 24)}^{3}}$

خطوة 13.2.2

أضف $36$ و $24$ .

$\frac{2 \cdot 300}{60^{3}}$

خطوة 13.2.3

ارفع $60$ إلى القوة $3$ .

$\frac{2 \cdot 300}{216000}$

خطوة 13.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب $2$ في $300$ .

$\frac{600}{216000}$

خطوة 13.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $600$ و $216000$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.2.1

أخرِج العامل $600$ من $600$ .

$\frac{600 (1)}{216000}$

خطوة 13.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.2.2.1

أخرِج العامل $600$ من $216000$ .

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

خطوة 13.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{600 \cdot 1}{600 \cdot 360}$

خطوة 13.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{360}$

خطوة 14

$x = - 6$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 6$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f (- 6) = \frac{(- 6) + 1}{{(- 6)}^{2} + 24}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

أضف $- 6$ و $1$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{{(- 6)}^{2} + 24}$

خطوة 15.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{36 + 24}$

خطوة 15.2.2.2

أضف $36$ و $24$ .

$f (- 6) = \frac{- 5}{60}$

خطوة 15.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5$ .

$f (- 6) = \frac{5 (- 1)}{60}$

خطوة 15.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $60$ .

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

خطوة 15.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 6) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 12}$

خطوة 15.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 6) = \frac{- 1}{12}$

خطوة 15.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 6) = - \frac{1}{12}$

خطوة 15.2.4

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{12}$ .

$y = - \frac{1}{12}$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 24}$ .

$(4, \frac{1}{8})$ هي نقطة قصوى محلية

$(- 6, - \frac{1}{12})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 17