حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = - x - 2$ و $g (x) = {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.9

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.11

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.12

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.13

أعِد كتابة $- 1 {(x - 5)}^{2}$ بالصيغة $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.14

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.15

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.16

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.17

اضرب الأُسس في ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.17.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.18

أخرِج العامل $x - 5$ من $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.18.1

أخرِج العامل $x - 5$ من $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.18.2

أخرِج العامل $x - 5$ من $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.18.3

أخرِج العامل $x - 5$ من $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.19.1

أخرِج العامل $x - 5$ من ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.2.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 1.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4.3.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4.3.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4.3.4

أضف $- x$ و $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4.3.5

أضف $5$ و $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 1.4.3.6

أضف $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ و $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{3})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب الأُسس في ${({(x - 5)}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{3 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} (x + 9) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (9)) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.2.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} (1 + 0) - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} \cdot 1 - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.2.5.2

اضرب ${(x - 5)}^{3}$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - (x + 9) (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.4.2

أخرِج العامل ${(x - 5)}^{2}$ من ${(x - 5)}^{3} - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل ${(x - 5)}^{2}$ من ${(x - 5)}^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) - 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.4.2.2

أخرِج العامل ${(x - 5)}^{2}$ من $- 3 (x + 9) ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.4.2.3

أخرِج العامل ${(x - 5)}^{2}$ من ${(x - 5)}^{2} (x - 5) + {(x - 5)}^{2} (- 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} [x - 5]))$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{6}}$

خطوة 2.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل ${(x - 5)}^{2}$ من ${(x - 5)}^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{{(x - 5)}^{2} (x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5)))}{{(x - 5)}^{2} {(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x - 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.8

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.9.2

اضرب $- 3$ في $1$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 (x + 9)}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 3 \cdot 9}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.2.1

اضرب $- 3$ في $9$ .

$f'' (x) = \frac{x - 5 - 3 x - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.2.2

اطرح $3 x$ من $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 5 - 27}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.2.3

اطرح $27$ من $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x - 32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) - 32}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x) + 2 (- 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (- 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.5

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.7

أعِد كتابة $- (x + 16)$ بالصيغة $- 1 (x + 16)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 16))}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 2.10.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 16)}{{(x - 5)}^{4}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

$\frac{{(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 2] - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.5

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{2}]}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 u \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) \frac{d}{d x} [x - 5])}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.9

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.11

أضف $- 1$ و $0$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.12

انقُل $- 1$ إلى يسار ${(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.13

أعِد كتابة $- 1 {(x - 5)}^{2}$ بالصيغة $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) (1 + 0))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.14

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5) \cdot 1)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.15

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - (- x - 2) (2 (x - 5))}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.16

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.17

اضرب الأُسس في ${({(x - 5)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.17.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.17.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.18

أخرِج العامل $x - 5$ من $- {(x - 5)}^{2} - 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.18.1

أخرِج العامل $x - 5$ من $- {(x - 5)}^{2}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) - 2 (- x - 2) (x - 5)}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.18.2

أخرِج العامل $x - 5$ من $- 2 (- x - 2) (x - 5)$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.18.3

أخرِج العامل $x - 5$ من $(x - 5) (- (x - 5)) + (x - 5) (- 2 (- x - 2))$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{{(x - 5)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.19

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.19.1

أخرِج العامل $x - 5$ من ${(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.19.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 5) (- (x - 5) - 2 (- x - 2))}{(x - 5) {(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.2.19.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 4.1.3

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{- (x - 5) - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x - 2)}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x - - 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$\frac{- x + 5 - 2 (- x) - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4.3.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x - 2 \cdot - 2}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4.3.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{- x + 5 + 2 x + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4.3.4

أضف $- x$ و $2 x$ .

$\frac{x + 5 + 4}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4.3.5

أضف $5$ و $4$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} + 0$

خطوة 4.1.4.3.6

أضف $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

خطوة 5.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x + 9 = 0$

خطوة 5.3

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$x = - 9$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x + 9}{{(x - 5)}^{3}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 5)}^{3} = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 6.2.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 9$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 9$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{2 ((- 9) + 16)}{{((- 9) - 5)}^{4}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $- 9$ و $16$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 9 - 5)}^{4}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $5$ من $- 9$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{{(- 14)}^{4}}$

خطوة 9.2.2

ارفع $- 14$ إلى القوة $4$ .

$- \frac{2 \cdot 7}{38416}$

خطوة 9.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $2$ في $7$ .

$- \frac{14}{38416}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $14$ و $38416$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $14$ من $14$ .

$- \frac{14 (1)}{38416}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $14$ من $38416$ .

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{14 \cdot 1}{14 \cdot 2744}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{2744}$

خطوة 10

$x = - 9$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 9$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 9$ في العبارة.

$f (- 9) = \frac{- (- 9) - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{9 - 2}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

خطوة 11.2.1.2

اطرح $2$ من $9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{((- 9) - 5)}^{2}} + 9$

خطوة 11.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.1

اطرح $5$ من $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{7}{{(- 14)}^{2}} + 9$

خطوة 11.2.2.1.2

ارفع $- 14$ إلى القوة $2$ .

$f (- 9) = \frac{7}{196} + 9$

خطوة 11.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $7$ و $196$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$f (- 9) = \frac{7 (1)}{196} + 9$

خطوة 11.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $7$ من $196$ .

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

خطوة 11.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 9) = \frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 28} + 9$

خطوة 11.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9$

خطوة 11.2.3

لكتابة $9$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + 9 \cdot \frac{28}{28}$

خطوة 11.2.4

اجمع $9$ و $\frac{28}{28}$ .

$f (- 9) = \frac{1}{28} + \frac{9 \cdot 28}{28}$

خطوة 11.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 9) = \frac{1 + 9 \cdot 28}{28}$

خطوة 11.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.1

اضرب $9$ في $28$ .

$f (- 9) = \frac{1 + 252}{28}$

خطوة 11.2.6.2

أضف $1$ و $252$ .

$f (- 9) = \frac{253}{28}$

خطوة 11.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{253}{28}$ .

$y = \frac{253}{28}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{- x - 2}{{(x - 5)}^{2}} + 9$ .

$(- 9, \frac{253}{28})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 13