حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $10 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 1.2.3

اضرب $10$ في $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 1.4

بما أن $- 5 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أضف $10 y - 3 x^{2}$ و $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

خطوة 1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 x^{2} + 10 y$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 3 x^{2} + 10 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 y)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 y)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 y)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (10 y)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $10 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $- 6 x$ و $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x y - x^{3} - 5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $10 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $10$ في $1$ .

$10 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$10 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$10 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{2}]$

خطوة 4.1.4

بما أن $- 5 y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 y - 3 x^{2} + 0$

خطوة 4.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

أضف $10 y - 3 x^{2}$ و $0$ .

$10 y - 3 x^{2}$

خطوة 4.1.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 10 y$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 3 x^{2} + 10 y$ .

$- 3 x^{2} + 10 y$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 3 x^{2} + 10 y = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 3 x^{2} + 10 y = 0$

خطوة 5.2

اطرح $10 y$ من كلا المتعادلين.

$- 3 x^{2} = - 10 y$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = - 10 y$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 x^{2} = - 10 y$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 10 y}{- 3}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{- 10 y}{- 3}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x^{2} = \frac{10 y}{3}$

خطوة 5.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$

خطوة 5.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{10 y}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{10 y}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.2

اضرب $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 5.5.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{10 y}}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 5.5.3.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 5.5.3.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 5.5.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 5.5.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 5.5.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.5.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.5.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.5.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 5.5.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y} \sqrt{3}}{3}$

خطوة 5.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$x = \pm \frac{\sqrt{10 y \cdot 3}}{3}$

خطوة 5.5.4.2

اضرب $3$ في $10$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{\sqrt{30 y}}{3}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 6 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 9

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $3$ من $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot - 2 \frac{\sqrt{30 y}}{3}$

خطوة 9.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \sqrt{30 y}$

خطوة 10

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 11