حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 10 x (2 - \ln (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x (2 - \ln (x))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x (2 - \ln (x))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x (2 - \ln (x))]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 2 - \ln (x)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [2 - \ln (x)] + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$10 (x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 (x (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [- \ln (x)] + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$10 (x (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$10 (x (- \frac{1}{x}) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$10 (- \frac{x}{x} + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.5.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 (- \frac{x}{x} + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 (- 1 \cdot 1 + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.5.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$10 (- 1 + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 (- 1 + (2 - \ln (x)) \cdot 1)$

خطوة 1.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

اضرب $2 - \ln (x)$ في $1$ .

$10 (- 1 + 2 - \ln (x))$

خطوة 1.5.4.2

أضف $- 1$ و $2$ .

$10 (1 - \ln (x))$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 \cdot 1 + 10 (- \ln (x))$

خطوة 1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

اضرب $10$ في $1$ .

$10 + 10 (- \ln (x))$

خطوة 1.6.2.2

اضرب $- 1$ في $10$ .

$10 - 10 \ln (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 - 10 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 10 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (- 10 \ln (x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 10 \ln (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 \ln (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 10 \frac{d}{d x} \ln (x)$

خطوة 2.2.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 10 \frac{1}{x}$

خطوة 2.2.3

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 10}{x}$

خطوة 2.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 0 - \frac{10}{x}$

خطوة 2.3

اطرح $\frac{10}{x}$ من $0$ .

$f'' (x) = - \frac{10}{x}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$10 - 10 \ln (x) = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x (2 - \ln (x))$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x (2 - \ln (x))]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x (2 - \ln (x))]$

خطوة 4.1.2

$10 (x \frac{d}{d x} [2 - \ln (x)] + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$10 (x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 (x (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [- \ln (x)] + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$10 (x (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$10 (x (- \frac{1}{x}) + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$10 (- \frac{x}{x} + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.5.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 (- \frac{x}{x} + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 (- 1 \cdot 1 + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.5.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$10 (- 1 + (2 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.1.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$10 (- 1 + (2 - \ln (x)) \cdot 1)$

خطوة 4.1.5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.4.1

اضرب $2 - \ln (x)$ في $1$ .

$10 (- 1 + 2 - \ln (x))$

خطوة 4.1.5.4.2

أضف $- 1$ و $2$ .

$10 (1 - \ln (x))$

خطوة 4.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 \cdot 1 + 10 (- \ln (x))$

خطوة 4.1.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.2.1

اضرب $10$ في $1$ .

$10 + 10 (- \ln (x))$

خطوة 4.1.6.2.2

اضرب $- 1$ في $10$ .

$f' (x) = 10 - 10 \ln (x)$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $10 - 10 \ln (x)$ .

$10 - 10 \ln (x)$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $10 - 10 \ln (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 - 10 \ln (x) = 0$

خطوة 5.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$- 10 \ln (x) = - 10$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- 10 \ln (x) = - 10$ على $- 10$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- 10 \ln (x) = - 10$ على $- 10$ .

$\frac{- 10 \ln (x)}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 10 \ln (x)}{- 10} = \frac{- 10}{- 10}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 10}{- 10}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم $- 10$ على $- 10$ .

$\ln (x) = 1$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (x) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

خطوة 5.6

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x = e^{1}$ .

$x = e$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (x)$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x \leq 0$

خطوة 6.2

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = e$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = e$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \frac{10}{e}$

خطوة 9

$x = e$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = e$ هي حد أقصى محلي

خطوة 10

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $e$ في العبارة.

$f (e) = 10 (e) (2 - \ln (e))$

خطوة 10.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e) = 10 e (2 - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (e) = 10 e (2 - 1)$

خطوة 10.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$f (e) = 10 e \cdot 1$

خطوة 10.2.2.2

اضرب $10$ في $1$ .

$f (e) = 10 e$

خطوة 10.2.3

الإجابة النهائية هي $10 e$ .

$y = 10 e$

خطوة 11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 10 x (2 - \ln (x))$ .

$(e, 10 e)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 12