حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 10 \sin (x) \cos (x) + 1$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 \sin (x) \cos (x) + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 \sin (x) \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 \sin (x) \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$10 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$10 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$10 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.5

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$10 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.6

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$10 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.8

أضف $1$ و $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.2.12

أضف $1$ و $1$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 0$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) + 0$

خطوة 1.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) + 0$

خطوة 1.4.2.2

أضف $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ و $0$ .

$- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 10 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 \sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 10 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

خطوة 2.2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $- 10$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} (10 \cos^{2} (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 \cos^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

خطوة 2.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

خطوة 2.3.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) + 10 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

خطوة 2.3.5

اضرب $- 2$ في $10$ .

$f'' (x) = - 20 \sin (x) \cos (x) - 20 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب عوامل $- 20 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (x) \sin (x) - 20 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 2.4.2

اطرح $20 \cos (x) \sin (x)$ من $- 20 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 40 \cos (x) \sin (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 4

حلّل $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $10$ من $- 10 \sin^{2} (x) + 10 \cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $10$ من $- 10 \sin^{2} (x)$ .

$10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $10$ من $10 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x) = 0$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $10$ من $10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \cos^{2} (x)$ .

$10 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب $- \sin^{2} (x)$ و $\cos^{2} (x)$ .

$10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

خطوة 4.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \cos (x)$ و $b = \sin (x)$ .

$10 ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 0$

خطوة 4.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$10 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

خطوة 5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) + \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\cos (x) + \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) + \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.4

افصِل الكسور.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 6.2.5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 6.2.6

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 6.2.7

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

خطوة 6.2.8

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 1$

خطوة 6.2.9

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 6.2.10

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.10.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 6.2.11

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 6.2.12

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.12.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 6.2.12.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 6.2.13

حل المعادلة $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $\cos (x) - \sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) - \sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.3

افصِل الكسور.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.4

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.5

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.6

افصِل الكسور.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 7.2.7

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 7.2.8

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 7.2.9

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

خطوة 7.2.10

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \tan (x) = - 1$

خطوة 7.2.11

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.11.1

اقسِم كل حد في $- \tan (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.2.11.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.11.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.2.11.2.2

اقسِم $\tan (x)$ على $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 7.2.11.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.11.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

خطوة 7.2.12

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (1)$

خطوة 7.2.13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.13.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (1)$ هي $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.14

دالة المماس موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = π + \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.15

بسّط $π + \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.15.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.2.1

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

خطوة 7.2.15.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

خطوة 7.2.15.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.3.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

خطوة 7.2.15.3.2

أضف $4 π$ و $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

خطوة 7.2.16

حل المعادلة $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

خطوة 8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $10 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 40 \cos (- \frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- 40 \cos (\frac{7 π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 10.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 40 \cos (\frac{π}{4}) \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 10.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 10.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 10.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 20 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 10.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \sqrt{2} \sin (- \frac{π}{4})$

خطوة 10.5

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- 20 \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

خطوة 10.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- 20 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 10.7

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 20 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 10.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 20 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 10.8.2

أخرِج العامل $2$ من $- 20 \sqrt{2}$ .

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 10.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 10.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 10 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

خطوة 10.9

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

خطوة 10.10

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

خطوة 10.11

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

خطوة 10.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

خطوة 10.13

أضف $1$ و $1$ .

$10 {\sqrt{2}}^{2}$

خطوة 10.14

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.14.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 10.14.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 10.14.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 10.14.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.14.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 10.14.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 \cdot 2^{1}$

خطوة 10.14.5

احسِب قيمة الأُس.

$10 \cdot 2$

خطوة 10.15

اضرب $10$ في $2$ .

$20$

خطوة 11

$x = - \frac{π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{4}) = 10 \sin (- \frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 10 \sin (\frac{7 π}{4}) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = 10 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 10 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{π}{4}) = 10 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (- \frac{π}{4}) = 2 (5) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{- \sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{4}) = 5 (- \sqrt{2}) \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.5

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (- \frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.6

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.7

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 1$

خطوة 12.2.1.8

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.9

اضرب $- 5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.9.1

اجمع $\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $- 5$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

خطوة 12.2.1.9.2

اجمع $\frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 5 \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.9.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.9.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.9.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.9.6

أضف $1$ و $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.10

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.10.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.10.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.10.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.10.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.10.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.10.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.10.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.11

اضرب $- 5$ في $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 10}{2} + 1$

خطوة 12.2.1.12

اقسِم $- 10$ على $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 5 + 1$

خطوة 12.2.2

أضف $- 5$ و $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - 4$

خطوة 12.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 40 \cos (\frac{3 π}{4}) \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 40 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 40 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 20 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14.4

اضرب $- 1$ في $- 20$ .

$20 \sqrt{2} \sin (\frac{3 π}{4})$

خطوة 14.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$20 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 14.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$20 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 14.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.7.1

أخرِج العامل $2$ من $20 \sqrt{2}$ .

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 14.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 14.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

خطوة 14.8

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

خطوة 14.9

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

خطوة 14.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

خطوة 14.11

أضف $1$ و $1$ .

$10 {\sqrt{2}}^{2}$

خطوة 14.12

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.12.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 14.12.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 14.12.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 14.12.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.12.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 14.12.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 \cdot 2^{1}$

خطوة 14.12.5

احسِب قيمة الأُس.

$10 \cdot 2$

خطوة 14.13

اضرب $10$ في $2$ .

$20$

خطوة 15

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 16

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 10 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

خطوة 16.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3 π}{4}) = 10 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

خطوة 16.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 10 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

خطوة 16.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 (5) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

خطوة 16.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

خطوة 16.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = 5 \sqrt{2} \cos (\frac{3 π}{4}) + 1$

خطوة 16.2.1.4

$f (\frac{3 π}{4}) = 5 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4})) + 1$

خطوة 16.2.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

خطوة 16.2.1.6

اضرب $5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.6.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.6.2

اجمع $\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $- 5$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

خطوة 16.2.1.6.3

اجمع $\frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 5 \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.6.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.6.5

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.6.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.6.7

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.8

اضرب $- 5$ في $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{- 10}{2} + 1$

خطوة 16.2.1.9

اقسِم $- 10$ على $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 5 + 1$

خطوة 16.2.2

أضف $- 5$ و $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 4$

خطوة 16.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$y = - 4$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 40 \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 18.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 20 \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 \sqrt{2} \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 18.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 20 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 18.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 20 \sqrt{2}$ .

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 18.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (- 10 \sqrt{2}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 18.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

خطوة 18.5

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

خطوة 18.6

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

خطوة 18.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

خطوة 18.8

أضف $1$ و $1$ .

$- 10 {\sqrt{2}}^{2}$

خطوة 18.9

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.9.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 18.9.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 18.9.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 18.9.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.9.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 18.9.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 10 \cdot 2^{1}$

خطوة 18.9.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 10 \cdot 2$

خطوة 18.10

اضرب $- 10$ في $2$ .

$- 20$

خطوة 19

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 20

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 10 \sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + 1$

خطوة 20.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 10 (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 1$

خطوة 20.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (5) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 1$

خطوة 20.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{\sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (\frac{π}{4}) + 1$

خطوة 20.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = 5 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 1$

خطوة 20.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 5 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

خطوة 20.2.1.4

اضرب $5 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.4.1

اجمع $\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $5$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

خطوة 20.2.1.4.2

اجمع $\frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.4.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.4.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.6

اضرب $5$ في $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{10}{2} + 1$

خطوة 20.2.1.7

اقسِم $10$ على $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 5 + 1$

خطوة 20.2.2

أضف $5$ و $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 6$

خطوة 20.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$y = 6$

خطوة 21

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 40 \cos (\frac{5 π}{4}) \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثالث.

$- 40 (- \cos (\frac{π}{4})) \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 40 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- 40 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 40$ .

$2 (- 20) \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 20 \frac{- \sqrt{2}}{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$- 20 (- \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22.4

اضرب $- 1$ في $- 20$ .

$20 \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

خطوة 22.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الثالث.

$20 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

خطوة 22.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$20 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 22.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.7.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$20 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.7.2

أخرِج العامل $2$ من $20 \sqrt{2}$ .

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.7.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 (10 \sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.7.4

أعِد كتابة العبارة.

$10 \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

خطوة 22.8

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 \sqrt{2} \sqrt{2}$

خطوة 22.9

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})$

خطوة 22.10

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$- 10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})$

خطوة 22.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

خطوة 22.12

أضف $1$ و $1$ .

$- 10 {\sqrt{2}}^{2}$

خطوة 22.13

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.13.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

خطوة 22.13.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

خطوة 22.13.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 22.13.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.13.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

خطوة 22.13.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 10 \cdot 2^{1}$

خطوة 22.13.5

احسِب قيمة الأُس.

$- 10 \cdot 2$

خطوة 22.14

اضرب $- 10$ في $2$ .

$- 20$

خطوة 23

$x = \frac{5 π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5 π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 24

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 \sin (\frac{5 π}{4}) \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.1

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 (- \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{5 π}{4}) = 10 (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2.1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 (5) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = 2 \cdot (5 (\frac{- \sqrt{2}}{2})) \cdot \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2.1.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = 5 (- \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2.1.4

اضرب $- 1$ في $5$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} \cos (\frac{5 π}{4}) + 1$

خطوة 24.2.1.5

$f (\frac{5 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4})) + 1$

خطوة 24.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - 5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

خطوة 24.2.1.7

اضرب $- 5 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.7.1

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 5 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 1$

خطوة 24.2.1.7.2

اجمع $\frac{\sqrt{2}}{2}$ و $5$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \sqrt{2} + 1$

خطوة 24.2.1.7.3

اجمع $\frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (5 \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.7.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.7.5

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.7.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.7.7

أضف $1$ و $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.8

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.8.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.8.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.8.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.8.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.8.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{5 \cdot 2}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.9

اضرب $5$ في $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = \frac{10}{2} + 1$

خطوة 24.2.1.10

اقسِم $10$ على $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 5 + 1$

خطوة 24.2.2

أضف $5$ و $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 6$

خطوة 24.2.3

الإجابة النهائية هي $6$ .

$y = 6$

خطوة 25

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 10 \sin (x) \cos (x) + 1$ .

$(- \frac{π}{4}, - 4)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{3 π}{4}, - 4)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{π}{4}, 6)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{5 π}{4}, 6)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 26