حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{\frac{7}{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $4$ من $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.7

اجمع $\frac{7}{4}$ و $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.8

اجمع $5$ و $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.2.9

اضرب $7$ في $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 70 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 70$ في $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ و $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 70]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\frac{35}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{35}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.6.2

اطرح $4$ من $3$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}) + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.8

اجمع $\frac{3}{4}$ و $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{35}{4} \cdot \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.9

اضرب $\frac{35}{4}$ في $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{35 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.10

اضرب $3$ في $35$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{4 \cdot 4} + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.11

اضرب $4$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{105 x^{- \frac{1}{4}}}{16} + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.2.12

انقُل $x^{- \frac{1}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + \frac{d}{d x} (- 70)$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 70$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}} + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $\frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$ و $0$ .

$f'' (x) = \frac{105}{16 x^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{7}{4}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{\frac{7}{4}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{4}}] + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{7}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{7 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.6.2

اطرح $4$ من $7$ .

$5 (\frac{7}{4} x^{\frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.7

اجمع $\frac{7}{4}$ و $x^{\frac{3}{4}}$ .

$5 \frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.8

اجمع $5$ و $\frac{7 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{5 (7 x^{\frac{3}{4}})}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $7$ في $5$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [- 70 x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 70 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 70$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 70 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 70 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 70$ في $1$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + \frac{d}{d x} [15]$

خطوة 4.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 + 0$

خطوة 4.1.4.2

أضف $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} - 70 = 0$

خطوة 5.2

أضف $70$ إلى كلا المتعادلين.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = 70$

خطوة 5.3

اضرب كلا المتعادلين في $\frac{4}{35}$ .

$\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

خطوة 5.4

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط $\frac{4}{35} \cdot \frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

اجمع.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

خطوة 5.4.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (35 x^{\frac{3}{4}})}{35 \cdot 4} = \frac{4}{35} \cdot 70$

خطوة 5.4.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

خطوة 5.4.1.1.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{35 x^{\frac{3}{4}}}{35} = \frac{4}{35} \cdot 70$

خطوة 5.4.1.1.5

اقسِم $x^{\frac{3}{4}}$ على $1$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot 70$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

بسّط $\frac{4}{35} \cdot 70$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $35$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $35$ من $70$ .

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 (2))$

خطوة 5.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{3}{4}} = \frac{4}{35} \cdot (35 \cdot 2)$

خطوة 5.4.2.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{3}{4}} = 4 \cdot 2$

خطوة 5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x^{\frac{3}{4}} = 8$

خطوة 5.5

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{4}{3}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1

بسّط ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{4}})}^{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 8^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 8^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6.1.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = 8^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6.1.1.2

بسّط.

$x = 8^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

بسّط $8^{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$x = {(2^{3})}^{\frac{4}{3}}$

خطوة 5.6.2.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

خطوة 5.6.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = 2^{3 (\frac{4}{3})}$

خطوة 5.6.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2^{4}$

خطوة 5.6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$x = 16$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{35 \sqrt[4]{x^{3}}}{4} - 70$

خطوة 6.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt[4]{x^{3}}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} < 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

خطوة 6.3.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x < \sqrt[3]{0}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 6.3.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x < 0$

خطوة 6.4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 16$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 16$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{105}{16 {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $16$ في ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب $16$ في ${(16)}^{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

ارفع $16$ إلى القوة $1$ .

$\frac{105}{16^{1} {(16)}^{\frac{1}{4}}}$

خطوة 9.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{105}{16^{1 + \frac{1}{4}}}$

خطوة 9.1.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{105}{16^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}}$

خطوة 9.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{105}{16^{\frac{4 + 1}{4}}}$

خطوة 9.1.4

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{105}{16^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 9.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{4}$ .

$\frac{105}{{(2^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

خطوة 9.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

خطوة 9.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{105}{2^{4 (\frac{5}{4})}}$

خطوة 9.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{105}{2^{5}}$

خطوة 9.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$\frac{105}{32}$

خطوة 10

$x = 16$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 16$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $16$ في العبارة.

$f (16) = 5 {(16)}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $2^{4}$ .

$f (16) = 5 {(2^{4})}^{\frac{7}{4}} - 70 \cdot 16 + 15$

خطوة 11.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

خطوة 11.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (16) = 5 \cdot 2^{4 (\frac{7}{4})} - 70 \cdot 16 + 15$

خطوة 11.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (16) = 5 \cdot 2^{7} - 70 \cdot 16 + 15$

خطوة 11.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $7$ .

$f (16) = 5 \cdot 128 - 70 \cdot 16 + 15$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $5$ في $128$ .

$f (16) = 640 - 70 \cdot 16 + 15$

خطوة 11.2.1.6

اضرب $- 70$ في $16$ .

$f (16) = 640 - 1120 + 15$

خطوة 11.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اطرح $1120$ من $640$ .

$f (16) = - 480 + 15$

خطوة 11.2.2.2

أضف $- 480$ و $15$ .

$f (16) = - 465$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $- 465$ .

$y = - 465$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 5 x^{\frac{7}{4}} - 70 x + 15$ .

$(16, - 465)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13