حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 x^{2} \cdot \ln (\frac{x}{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $\frac{2}{x}$ في $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.5.3.2.5

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.7.2

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.7.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.9

اضرب $x$ في $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

خطوة 1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

خطوة 1.11.2

اضرب $2$ في $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

خطوة 1.11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{2})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $10 x \ln (\frac{x}{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.7

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{2}{x}) \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.8

اضرب $\frac{2}{x}$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.9

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.10

اضرب $\frac{2}{x}$ في $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{x \cdot 2}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.11

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{2}{2 x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.13

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.14

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.14.1

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.14.2

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.2.15

اضرب $\ln (\frac{x}{2})$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5 \cdot 1$

خطوة 2.3.3

اضرب $5$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{2})) + 5$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

خطوة 2.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

اضرب $10$ في $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{2}) + 5$

خطوة 2.4.2.2

أضف $10$ و $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{2}) + 15$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2} \ln (\frac{x}{2})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{2})]$

خطوة 4.1.2

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x}{2})] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.3

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x}{2}$ .

$5 (x^{2} (1 \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

اضرب $\frac{2}{x}$ في $1$ .

$5 (x^{2} (\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $x^{2}$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{2}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5.3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5.3.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.5.3.2.5

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$5 (2 x \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.6

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (2 x (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.7

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{2}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.7.2

اجمع $\frac{2}{2}$ و $x$ .

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{2 x}{2} \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.7.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x] + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.9

اضرب $x$ في $1$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 4.1.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (x + \ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

خطوة 4.1.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x + 5 (\ln (\frac{x}{2}) (2 x))$

خطوة 4.1.11.2

اضرب $2$ في $5$ .

$5 x + 10 \ln (\frac{x}{2}) x$

خطوة 4.1.11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$10 x \ln (\frac{x}{2}) + 5 x = 0$

خطوة 5.2

اطرح $5 x$ من كلا المتعادلين.

$10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ على $10 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $10 x \ln (\frac{x}{2}) = - 5 x$ على $10 x$ .

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{10 x \ln (\frac{x}{2})}{10 x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \ln (\frac{x}{2})}{x} = \frac{- 5 x}{10 x}$

خطوة 5.3.2.2.2

اقسِم $\ln (\frac{x}{2})$ على $1$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 5 x}{10 x}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 5$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 5 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{10 x}$

خطوة 5.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10 x$ .

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

خطوة 5.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{5 (- x)}{5 (2 x)}$

خطوة 5.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- x}{2 x}$

خطوة 5.3.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$

خطوة 5.4

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (\frac{x}{2})} = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.5

أعِد كتابة $\ln (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = \frac{x}{2}$

خطوة 5.6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{2} = e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.6.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.6.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x}{2} = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.6.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = 2 e^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1

بسّط $2 e^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 2 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.6.3.2.1.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (\frac{x}{2})$ بحيث تصبح أصغر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\frac{x}{2} \leq 0$

خطوة 6.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب كلا الطرفين في $2$ .

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

خطوة 6.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x}{2} \cdot 2 \leq 0 \cdot 2$

خطوة 6.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \leq 0 \cdot 2$

خطوة 6.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

اضرب $0$ في $2$ .

$x \leq 0$

خطوة 6.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$10 \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2}) + 15$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$10 \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}) + 15$

خطوة 9.1.2

اجمع.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

خطوة 9.1.3

اختزِل العبارة $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}) + 15$

خطوة 9.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 15$

خطوة 9.1.4

انقُل $e^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$10 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 15$

خطوة 9.1.5

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ بنقل $- \frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$10 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 15$

خطوة 9.1.6

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$10 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 15$

خطوة 9.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 15$

خطوة 9.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 15$

خطوة 9.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 15$

خطوة 9.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 15$

خطوة 9.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$5 \cdot - 1 + 15$

خطوة 9.1.9

اضرب $5$ في $- 1$ .

$- 5 + 15$

خطوة 9.2

أضف $- 5$ و $15$ .

$10$

خطوة 10

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ في العبارة.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 {(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{2^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.2.2

بسّط.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = 5 (\frac{4}{e}) \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.3

اضرب $5 \frac{4}{e}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

اجمع $5$ و $\frac{4}{e}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{5 \cdot 4}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.3.2

اضرب $5$ في $4$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}}{2})$

خطوة 11.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 11.2.5

اجمع.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

خطوة 11.2.6

اختزِل العبارة $\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{2 \cdot 1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2})$

خطوة 11.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 11.2.7

انقُل $e^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 11.2.8

وسّع $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ بنقل $- \frac{1}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

خطوة 11.2.9

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 11.2.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

خطوة 11.2.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.11.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{20}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

خطوة 11.2.11.2

أخرِج العامل $2$ من $20$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 (10)}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

خطوة 11.2.11.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{2 \cdot 10}{e} \cdot \frac{- 1}{2}$

خطوة 11.2.11.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

خطوة 11.2.12

اجمع $\frac{10}{e}$ و $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

خطوة 11.2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.13.1

اضرب $10$ في $- 1$ .

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{- 10}{e}$

خطوة 11.2.13.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{10}{e}$

خطوة 11.2.14

الإجابة النهائية هي $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

خطوة 12

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 5 x^{2} \cdot \ln (\frac{x}{2})$ .

$(\frac{2}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{10}{e})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 13