حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 \sqrt{x^{3}} - 9$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{3}}$ في صورة $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.7.2

اطرح $2$ من $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.8

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.9

اجمع $4$ و $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.10

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.11

أخرِج العامل $2$ من $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.2.12.4

اقسِم $6 x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $6 x^{\frac{1}{2}}$ و $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 2.9

اجمع $6$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.10

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.11

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 2.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 2.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \sqrt{x^{3}} - 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{3}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{3}}$ في صورة $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.7.2

اطرح $2$ من $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.8

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.9

اجمع $4$ و $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.10

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.11

أخرِج العامل $2$ من $12 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.12.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.2.12.4

اقسِم $6 x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + 0$

خطوة 4.1.3.2

أضف $6 x^{\frac{1}{2}}$ و $0$ .

$f' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $6 x^{\frac{1}{2}} = 0$ على $6$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} = \frac{0}{6}$

خطوة 5.2.2.2

اقسِم $x^{\frac{1}{2}}$ على $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{6}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم $0$ على $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 5.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 5.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

بسّط ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 5.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 5.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{1} = 0^{2}$

خطوة 5.4.1.1.2

بسّط.

$x = 0^{2}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x = 0$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$6 \sqrt{x^{1}}$

خطوة 6.1.2

ناتج رفع أي عدد إلى $1$ يساوي الأساس نفسه.

$6 \sqrt{x}$

خطوة 6.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x < 0$

خطوة 6.3

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$\frac{3}{{(0)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{3}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 9.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

خطوة 9.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{0^{1}}$

خطوة 9.3

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{3}{0}$

خطوة 9.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 10

بما أن اختبار المشتق الأول فشل، إذن لا توجد قيم قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 11