حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{y} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{y}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{y}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = y$ .

$3 y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{y - 1} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 y x^{y - 1} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.3.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.4.3

اضرب $2$ في $- 12$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 1.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x + 0$

خطوة 1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

أضف $3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$ و $0$ .

$3 y x^{y - 1} - 12 x^{2} - 24 x$

خطوة 1.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$

خطوة 1.6.3

أعِد ترتيب العوامل في $- 12 x^{2} + 3 x^{y - 1} y - 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 2.2.3

اضرب $2$ في $- 12$ .

$f'' (x) = - 24 x + \frac{d}{d x} (3 y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 y x^{y - 1}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $3 y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y x^{y - 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 y \frac{d}{d x} [x^{y - 1}]$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y \frac{d}{d x} (x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = y - 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 1 - 1}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 2.3.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 24 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \frac{d}{d x} x$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24 \cdot 1$

خطوة 2.4.3

اضرب $- 24$ في $1$ .

$f'' (x) = - 24 x + 3 y ((y - 1) x^{y - 2}) - 24$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 3 x^{y - 2} y (y - 1) - 24 x - 24$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 12 x^{2} + 3 y x^{y - 1} - 24 x = 0$

خطوة 4

بما أنه لا توجد قيمة لـ $x$ تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ ، إذن لا توجد قيمة قصوى محلية.

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 5

لا توجد قيمة قصوى محلية

خطوة 6