حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \csc (4 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \csc (4 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\csc (4 x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\csc (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \csc (u) \cot (u)$ .

$3 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$3 (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 (\csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

خطوة 1.3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

اضرب $4$ في $- 3$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1$

خطوة 1.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

اضرب $- 12$ في $1$ .

$- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$

خطوة 1.3.5.2

أعِد ترتيب عوامل $- 12 \csc (4 x) \cot (4 x)$ .

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [\cot (4 x) \csc (4 x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cot (4 x) \csc (4 x))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cot (4 x)$ و $g (x) = \csc (4 x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) \frac{d}{d x} (\csc (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (\frac{d}{d u (1)} (\csc (u_{1})) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.3.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (\cot (4 x) (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.4

ارفع $\cot (4 x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.5

ارفع $\cot (4 x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) (\cot (4 x) \cot (4 x)) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) {\cot (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.7.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.7.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \frac{d}{d x} x + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.7.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) \cdot 1 + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.7.5

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) \frac{d}{d x} (\cot (4 x)))$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cot (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (\frac{d}{d u (2)} (\cot (u_{2})) \frac{d}{d x} (4 x)))$

خطوة 2.8.2

مشتق $\cot (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} (4 x)))$

خطوة 2.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + \csc (4 x) (- \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x)))$

خطوة 2.9

ارفع $\csc (4 x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc (4 x) \csc^{2} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

خطوة 2.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - {\csc (4 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} (4 x))$

خطوة 2.11

أضف $1$ و $2$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} (4 x))$

خطوة 2.12

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - \csc^{3} (4 x) (4 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.13

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \frac{d}{d x} x)$

خطوة 2.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x) \cdot 1)$

خطوة 2.15

اضرب $- 4$ في $1$ .

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) - 4 \csc^{3} (4 x))$

خطوة 2.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - 12 (- 4 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

خطوة 2.16.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.16.2.1

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$f'' (x) = 48 (\csc (4 x) \cot^{2} (4 x)) - 12 (- 4 \csc^{3} (4 x))$

خطوة 2.16.2.2

اضرب $- 4$ في $- 12$ .

$f'' (x) = 48 \csc (4 x) \cot^{2} (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

خطوة 2.16.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = 48 \cot^{2} (4 x) \csc (4 x) + 48 \csc^{3} (4 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$

خطوة 4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

$\csc (4 x) = 0$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $\cot (4 x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $\cot (4 x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cot (4 x) = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cot (4 x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

خُذ ظل التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل ظل التمام.

$4 x = arccot (0)$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arccot (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.3

اقسِم كل حد في $4 x = \frac{π}{2}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم كل حد في $4 x = \frac{π}{2}$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

خطوة 5.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

خطوة 5.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

خطوة 5.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.3.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

خطوة 5.2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$x = \frac{π}{8}$

خطوة 5.2.4

دالة ظل التمام موجبة في الربعين الأول والثالث. لإيجاد الحل الثاني، أضِف زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$4 x = π + \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.5.1.2

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

خطوة 5.2.5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

خطوة 5.2.5.1.4

أضف $π \cdot 2$ و $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1.4.1

أعِد ترتيب $π$ و $2$ .

$4 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

خطوة 5.2.5.1.4.2

أضف $2 \cdot π$ و $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

خطوة 5.2.5.2

اقسِم كل حد في $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

خطوة 5.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

خطوة 5.2.5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{4}$

خطوة 5.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

خطوة 5.2.5.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

خطوة 5.2.5.2.3.2.2

اضرب $2$ في $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

خطوة 5.2.6

حل المعادلة $4 x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

خطوة 6

عيّن قيمة العبارة $\csc (4 x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة $\csc (4 x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\csc (4 x) = 0$

خطوة 6.2

مدى دالة قاطع التمام هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 12 \cot (4 x) \csc (4 x) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{π}{8}, \frac{3 π}{8}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{π}{8})) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$48 \cot^{2} (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$48 \cot^{2} (\frac{π}{2}) \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.4

اضرب $48$ في $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$0 \csc (4 \frac{π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 \csc (4 \frac{π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 \csc (\frac{π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 \cdot 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.7

اضرب $0$ في $1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 9.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.8.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 (2)})$

خطوة 9.1.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

خطوة 9.1.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{π}{2})$

خطوة 9.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 + 48 \cdot 1^{3}$

خطوة 9.1.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$0 + 48 \cdot 1$

خطوة 9.1.11

اضرب $48$ في $1$ .

$0 + 48$

خطوة 9.2

أضف $0$ و $48$ .

$48$

خطوة 10

$x = \frac{π}{8}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{π}{8}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{8}))$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 (2)}))$

خطوة 11.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{π}{4 \cdot 2}))$

خطوة 11.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{8}) = 3 \csc (\frac{π}{2})$

خطوة 11.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3 \cdot 1$

خطوة 11.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$f (\frac{π}{8}) = 3$

خطوة 11.2.4

الإجابة النهائية هي $3$ .

$y = 3$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{8}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$48 \cot^{2} (4 (\frac{3 π}{8})) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 (2)}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$48 \cot^{2} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$48 \cot^{2} (\frac{3 π}{2}) \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن ظل التمام سالب في الربع الرابع.

$48 {(- \cot (\frac{π}{2}))}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$48 {(- 0)}^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$48 \cdot 0^{2} \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$48 \cdot 0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.6

اضرب $48$ في $0$ .

$0 \csc (4 (\frac{3 π}{8})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.7

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 (2)}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 \csc (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 \csc (\frac{3 π}{2}) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.8

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن قاطع التمام سالب في الربع الرابع.

$0 (- \csc (\frac{π}{2})) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.9

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 (- 1 \cdot 1) + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.10

اضرب $0 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.10.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 \cdot - 1 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.10.2

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 13.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.11.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 (2)})$

خطوة 13.1.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$0 + 48 \csc^{3} (4 \frac{3 π}{4 \cdot 2})$

خطوة 13.1.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$0 + 48 \csc^{3} (\frac{3 π}{2})$

خطوة 13.1.12

$0 + 48 {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{3}$

خطوة 13.1.13

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$0 + 48 {(- 1 \cdot 1)}^{3}$

خطوة 13.1.14

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 + 48 {(- 1)}^{3}$

خطوة 13.1.15

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$0 + 48 \cdot - 1$

خطوة 13.1.16

اضرب $48$ في $- 1$ .

$0 - 48$

خطوة 13.2

اطرح $48$ من $0$ .

$- 48$

خطوة 14

$x = \frac{3 π}{8}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{8}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{8}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{8}))$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 (2)}))$

خطوة 15.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (4 (\frac{3 π}{4 \cdot 2}))$

خطوة 15.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \csc (\frac{3 π}{2})$

خطوة 15.2.2

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- \csc (\frac{π}{2}))$

خطوة 15.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\csc (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 15.2.4

اضرب $3 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = 3 \cdot - 1$

خطوة 15.2.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{8}) = - 3$

خطوة 15.2.5

الإجابة النهائية هي $- 3$ .

$y = - 3$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 3 \csc (4 x)$ .

$(\frac{π}{8}, 3)$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{3 π}{8}, - 3)$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 17