حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$- 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 1.3.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$- 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

خطوة 1.4.2

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

خطوة 1.4.2.2

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

خطوة 1.4.2.3

أخرِج العامل $3 \sin (x)$ من $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

خطوة 1.4.3

أعِد ترتيب $\cos^{2} (x)$ و $- 1$ .

$3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

خطوة 1.4.4

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) + \cos^{2} (x))$

خطوة 1.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\cos^{2} (x)$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

خطوة 1.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

خطوة 1.4.7

أعِد كتابة $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ بالصيغة $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

خطوة 1.4.8

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

خطوة 1.4.9

اضرب $\sin (x)$ في $\sin^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.1

انقُل $\sin^{2} (x)$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

خطوة 1.4.9.2

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.9.2.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$3 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1$

خطوة 1.4.9.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

خطوة 1.4.9.3

أضف $2$ و $1$ .

$3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

خطوة 1.4.10

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 \sin^{3} (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \sin^{3} (x)$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 3 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

خطوة 2.3

اضرب $3$ في $- 3$ .

$f'' (x) = - 9 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

خطوة 2.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin^{2} (x) \cos (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\sin^{3} (x)$ على $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

خطوة 5

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

خطوة 6

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 6.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\sin (x) = 0$

خطوة 7

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 8

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 9

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 10

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 11

حل المعادلة $x = 0$ .

$x = 0, π$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 9 \sin^{2} (0) \cos (0)$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- 9 \cdot 0^{2} \cos (0)$

خطوة 13.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 9 \cdot 0 \cos (0)$

خطوة 13.3

اضرب $- 9$ في $0$ .

$0 \cos (0)$

خطوة 13.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$0 \cdot 1$

خطوة 13.5

اضرب $0$ في $1$ .

$0$

خطوة 14

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

خطوة 14.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $- 3 \sin^{3} (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = - 3 \sin^{3} (- 2)$

خطوة 14.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

احسِب قيمة $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 0.90929742)}^{3}$

خطوة 14.2.2.2

ارفع $- 0.90929742$ إلى القوة $3$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot - 0.75182694$

خطوة 14.2.2.3

اضرب $- 3$ في $- 0.75182694$ .

$f' (- 2) = 2.25548083$

خطوة 14.2.2.4

الإجابة النهائية هي $2.25548083$ .

$2.25548083$

خطوة 14.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, π)$ في المشتق الأول $- 3 \sin^{3} (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = - 3 \sin^{3} (2)$

خطوة 14.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

احسِب قيمة $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 3 \cdot {0.90929742}^{3}$

خطوة 14.3.2.2

ارفع $0.90929742$ إلى القوة $3$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 0.75182694$

خطوة 14.3.2.3

اضرب $- 3$ في $0.75182694$ .

$f' (2) = - 2.25548083$

خطوة 14.3.2.4

الإجابة النهائية هي $- 2.25548083$ .

$- 2.25548083$

خطوة 14.4

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(π, \infty)$ في المشتق الأول $- 3 \sin^{3} (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = - 3 \sin^{3} (6)$

خطوة 14.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

احسِب قيمة $\sin (6)$ .

$f' (6) = - 3 {(- 0.27941549)}^{3}$

خطوة 14.4.2.2

ارفع $- 0.27941549$ إلى القوة $3$ .

$f' (6) = - 3 \cdot - 0.02181481$

خطوة 14.4.2.3

اضرب $- 3$ في $- 0.02181481$ .

$f' (6) = 0.06544443$

خطوة 14.4.2.4

الإجابة النهائية هي $0.06544443$ .

$0.06544443$

خطوة 14.5

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = π$ ، إذن $x = π$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.7

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ .

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = π$ هي حد أدنى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15