حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.6.2

اطرح $2$ من $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.7

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.8

اجمع $2$ و $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.9

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.10

أخرِج العامل $2$ من $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.2.11.4

اقسِم $5 x^{\frac{3}{2}}$ على $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

خطوة 1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 2.2.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{3}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

خطوة 2.3.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.3.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

خطوة 2.3.6.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2.3.7

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 + 5 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 2.3.8

اجمع $5$ و $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{5 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 2.3.9

اضرب $3$ في $5$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{5}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{5}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.6.2

اطرح $2$ من $5$ .

$2 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.7

اجمع $\frac{5}{2}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.8

اجمع $2$ و $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.9

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.10

أخرِج العامل $2$ من $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.11.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.2.11.4

اقسِم $5 x^{\frac{3}{2}}$ على $1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - (2 x)$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 x^{\frac{3}{2}} - 2 x$

خطوة 4.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $- x$ من $- 2 x + 5 x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- 2 x$ .

$- x \cdot 2 + 5 x^{\frac{3}{2}} = 0$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $5 x^{\frac{3}{2}}$ .

$- x \cdot 2 - x (- 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (2) - x (- 5 x^{\frac{1}{2}})$ .

$- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$

خطوة 5.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 5.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.5

عيّن قيمة العبارة $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

عيّن قيمة $2 - 5 x^{\frac{1}{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

خطوة 5.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 5 x^{\frac{1}{2}} = - 2$

خطوة 5.5.2.2

ارفع كل متعادل إلى القوة $2$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.5.2.3

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1.1

بسّط ${(- 5 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 5)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.5.2.3.1.1.2

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.5.2.3.1.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.5.2.3.1.1.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.5.2.3.1.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$25 x^{1} = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.5.2.3.1.1.4

بسّط.

$25 x = {(- 2)}^{2}$

خطوة 5.5.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.2.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$25 x = 4$

خطوة 5.5.2.4

اقسِم كل حد في $25 x = 4$ على $25$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.4.1

اقسِم كل حد في $25 x = 4$ على $25$ .

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

خطوة 5.5.2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{25 x}{25} = \frac{4}{25}$

خطوة 5.5.2.4.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{4}{25}$

خطوة 5.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- x (2 - 5 x^{\frac{1}{2}}) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{4}{25}$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$- 2 x + 5 \sqrt{x^{3}}$

خطوة 6.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{3}}$ بحيث تصبح أصغر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{3} < 0$

خطوة 6.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

خطوة 6.3.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x < \sqrt[3]{0}$

خطوة 6.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 6.3.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x < 0$

خطوة 6.4

تصبح المعادلة غير معرّفة عندما يكون القاسم مساويًا لـ $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للجذر التربيعي أصغر من $0$ ، أو عندما يكون المتغير المستقل للوغاريتم أصغر من أو يساوي $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 0, \frac{4}{25}$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 + \frac{15 {(0)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 9.1.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

خطوة 9.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

خطوة 9.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0^{1}}{2}$

خطوة 9.1.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$- 2 + \frac{15 \cdot 0}{2}$

خطوة 9.1.2

اضرب $15$ في $0$ .

$- 2 + \frac{0}{2}$

خطوة 9.1.3

اقسِم $0$ على $2$ .

$- 2 + 0$

خطوة 9.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$- 2$

خطوة 10

$x = 0$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 2 {(0)}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$f (0) = 2 {(0^{2})}^{\frac{5}{2}} - {(0)}^{2}$

خطوة 11.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

خطوة 11.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (0) = 2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})} - {(0)}^{2}$

خطوة 11.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (0) = 2 \cdot 0^{5} - {(0)}^{2}$

خطوة 11.2.1.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{2}$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{2}$

خطوة 11.2.1.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 0$

خطوة 11.2.1.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 11.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{4}{25}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 + \frac{15 {(\frac{4}{25})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{25}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{4^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 13.1.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 13.1.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 13.1.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{2 (\frac{1}{2})}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 13.1.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 + \frac{15 \frac{2^{1}}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 13.1.1.2.4

احسِب قيمة الأُس.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 13.1.1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.3.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{2}$

خطوة 13.1.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

خطوة 13.1.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}}{2}$

خطوة 13.1.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 + \frac{15 \frac{2}{5^{1}}}{2}$

خطوة 13.1.1.3.4

احسِب قيمة الأُس.

$- 2 + \frac{15 (\frac{2}{5})}{2}$

خطوة 13.1.2

اجمع $15$ و $\frac{2}{5}$ .

$- 2 + \frac{\frac{15 \cdot 2}{5}}{2}$

خطوة 13.1.3

اضرب $15$ في $2$ .

$- 2 + \frac{\frac{30}{5}}{2}$

خطوة 13.1.4

اقسِم $30$ على $5$ .

$- 2 + \frac{6}{2}$

خطوة 13.1.5

اقسِم $6$ على $2$ .

$- 2 + 3$

خطوة 13.2

أضف $- 2$ و $3$ .

$1$

خطوة 14

$x = \frac{4}{25}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{4}{25}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{4}{25}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{4}{25}$ في العبارة.

$f (\frac{4}{25}) = 2 {(\frac{4}{25})}^{\frac{5}{2}} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{4^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{2^{5}}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{25^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.3.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{{(5^{2})}^{\frac{5}{2}}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{2 (\frac{5}{2})}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{5^{5}}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.3.4

ارفع $5$ إلى القوة $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = 2 (\frac{32}{3125}) - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.4

اضرب $2 (\frac{32}{3125})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1.4.1

اجمع $2$ و $\frac{32}{3125}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{2 \cdot 32}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.4.2

اضرب $2$ في $32$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - {(\frac{4}{25})}^{2}$

خطوة 15.2.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{4}{25}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{4^{2}}{25^{2}}$

خطوة 15.2.1.6

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{25^{2}}$

خطوة 15.2.1.7

ارفع $25$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625}$

خطوة 15.2.2

لكتابة $- \frac{16}{625}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16}{625} \cdot \frac{5}{5}$

خطوة 15.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $3125$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.3.1

اضرب $\frac{16}{625}$ في $\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{625 \cdot 5}$

خطوة 15.2.3.2

اضرب $625$ في $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64}{3125} - \frac{16 \cdot 5}{3125}$

خطوة 15.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 16 \cdot 5}{3125}$

خطوة 15.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.5.1

اضرب $- 16$ في $5$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{64 - 80}{3125}$

خطوة 15.2.5.2

اطرح $80$ من $64$ .

$f (\frac{4}{25}) = \frac{- 16}{3125}$

خطوة 15.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{4}{25}) = - \frac{16}{3125}$

خطوة 15.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{16}{3125}$ .

$y = - \frac{16}{3125}$

خطوة 16

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 x^{\frac{5}{2}} - x^{2}$ .

$(0, 0)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{4}{25}, - \frac{16}{3125})$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 17