حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 1.2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

خطوة 1.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin (x)$

خطوة 1.4.2.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$

خطوة 1.4.2.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.2.4

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

خطوة 2.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 4

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) = 0$

خطوة 5

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $2 \sin (x)$ من $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $\sin (x)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sin (x) = 0$

خطوة 7.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sin (x) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (0)$

خطوة 7.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 7.2.3

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - 0$

خطوة 7.2.4

اطرح $0$ من $π$ .

$x = π$

خطوة 7.2.5

حل المعادلة $x = 0$ .

$x = 0, π$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 8.2

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$\cos (x) = 1$

خطوة 8.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (1)$

خطوة 8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$x = 0$

خطوة 8.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - 0$

خطوة 8.2.5

اطرح $0$ من $2 π$ .

$x = 2 π$

خطوة 8.2.6

حل المعادلة $x = 0$ .

$x = 0, 2 π$

خطوة 9

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 \sin (x) (\cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, π, 2 π$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$2 \cos (2 (0)) - 2 \cos (0)$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$2 \cos (0) - 2 \cos (0)$

خطوة 11.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 \cdot 1 - 2 \cos (0)$

خطوة 11.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - 2 \cos (0)$

خطوة 11.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$2 - 2 \cdot 1$

خطوة 11.1.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 - 2$

خطوة 11.2

اطرح $2$ من $2$ .

$0$

خطوة 12

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, 2 π) \cup (2 π, \infty)$

خطوة 12.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = \sin (2 (- 2)) - 2 \sin (- 2)$

خطوة 12.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = \sin (- 4) - 2 \sin (- 2)$

خطوة 12.2.2.1.2

احسِب قيمة $\sin (- 4)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \sin (- 2)$

خطوة 12.2.2.1.3

احسِب قيمة $\sin (- 2)$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 - 2 \cdot - 0.90929742$

خطوة 12.2.2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 0.90929742$ .

$f' (- 2) = 0.75680249 + 1.81859485$

خطوة 12.2.2.2

أضف $0.75680249$ و $1.81859485$ .

$f' (- 2) = 2.57539734$

خطوة 12.2.2.3

الإجابة النهائية هي $2.57539734$ .

$2.57539734$

خطوة 12.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, π)$ في المشتق الأول $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = \sin (2 (2)) - 2 \sin (2)$

خطوة 12.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.2.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (2) = \sin (4) - 2 \sin (2)$

خطوة 12.3.2.1.2

احسِب قيمة $\sin (4)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \sin (2)$

خطوة 12.3.2.1.3

احسِب قيمة $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 2 \cdot 0.90929742$

خطوة 12.3.2.1.4

اضرب $- 2$ في $0.90929742$ .

$f' (2) = - 0.75680249 - 1.81859485$

خطوة 12.3.2.2

اطرح $1.81859485$ من $- 0.75680249$ .

$f' (2) = - 2.57539734$

خطوة 12.3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2.57539734$ .

$- 2.57539734$

خطوة 12.4

عوّض بأي عدد، مثل $5$ ، من الفترة $(π, 2 π)$ في المشتق الأول $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f' (5) = \sin (2 (5)) - 2 \sin (5)$

خطوة 12.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1.1

اضرب $2$ في $5$ .

$f' (5) = \sin (10) - 2 \sin (5)$

خطوة 12.4.2.1.2

احسِب قيمة $\sin (10)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \sin (5)$

خطوة 12.4.2.1.3

احسِب قيمة $\sin (5)$ .

$f' (5) = - 0.54402111 - 2 \cdot - 0.95892427$

خطوة 12.4.2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 0.95892427$ .

$f' (5) = - 0.54402111 + 1.91784854$

خطوة 12.4.2.2

أضف $- 0.54402111$ و $1.91784854$ .

$f' (5) = 1.37382743$

خطوة 12.4.2.3

الإجابة النهائية هي $1.37382743$ .

$1.37382743$

خطوة 12.5

عوّض بأي عدد، مثل $9$ ، من الفترة $(2 π, \infty)$ في المشتق الأول $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$f' (9) = \sin (2 (9)) - 2 \sin (9)$

خطوة 12.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.2.1.1

اضرب $2$ في $9$ .

$f' (9) = \sin (18) - 2 \sin (9)$

خطوة 12.5.2.1.2

احسِب قيمة $\sin (18)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \sin (9)$

خطوة 12.5.2.1.3

احسِب قيمة $\sin (9)$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 2 \cdot 0.41211848$

خطوة 12.5.2.1.4

اضرب $- 2$ في $0.41211848$ .

$f' (9) = - 0.75098724 - 0.82423697$

خطوة 12.5.2.2

اطرح $0.82423697$ من $- 0.75098724$ .

$f' (9) = - 1.57522421$

خطوة 12.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.57522421$ .

$- 1.57522421$

خطوة 12.6

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0$ ، إذن $x = 0$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = π$ ، إذن $x = π$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = π$ هي حد أدنى محلي

خطوة 12.8

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 2 π$ ، إذن $x = 2 π$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 2 π$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12.9

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \cos (x) + \sin^{2} (x)$ .

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = π$ هي حد أدنى محلي

$x = 2 π$ هي حد أقصى محلي

$x = 0$ هي حد أقصى محلي

$x = π$ هي حد أدنى محلي

$x = 2 π$ هي حد أقصى محلي

خطوة 13