حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 1.2.3

اضرب $3$ في $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

خطوة 1.3.2

أضف $3$ و $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = 24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $24 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 1.3.6

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $24$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 1.3.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 1.3.10

اضرب $- 3$ في $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 1.3.11

اطرح $3$ من $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 1.3.12

انقُل $- 3$ إلى يسار $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 1.3.13

انقُل $7$ إلى يسار $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

خطوة 1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 1.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.1

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 1.4.4.2

اضرب $7$ في $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 1.4.4.3

اضرب $168$ في $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 1.4.4.4

اضرب $- 3$ في $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

خطوة 1.4.4.5

اضرب $x$ في $x^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.5.1

انقُل $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

خطوة 1.4.4.5.2

اضرب $x^{6}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.4.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

خطوة 1.4.4.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

خطوة 1.4.4.5.3

أضف $6$ و $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

خطوة 1.4.4.6

اضرب $- 21$ في $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

خطوة 1.4.4.7

أضف $9 x^{7}$ و $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

خطوة 1.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [72 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 504 x^{6}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (72 x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [72 x^{7}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $72 x^{7}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $72 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$f'' (x) = 72 \frac{d}{d x} (x^{7}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$f'' (x) = 72 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

خطوة 2.2.3

اضرب $7$ في $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} + \frac{d}{d x} (- 504 x^{6}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 504 x^{6}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 504$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 504 x^{6}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 504 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 \frac{d}{d x} x^{6} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 504 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

خطوة 2.3.3

اضرب $6$ في $- 504$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + \frac{d}{d x} (72 x^{2})$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $72 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 72 (2 x)$

خطوة 2.4.3

اضرب $2$ في $72$ .

$f'' (x) = 504 x^{6} - 3024 x^{5} + 144 x$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

خطوة 4

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 4.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $3$ في $24$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3 + 4} \cdot (24 - 3 x)]$

خطوة 4.1.3.2

أضف $3$ و $4$ .

$72 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} \cdot (24 - 3 x)]$

خطوة 4.1.3.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x^{7} (24 - 3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$ .

$72 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{7} (24 - 3 x)]$

خطوة 4.1.3.4

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} [24 - 3 x] + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 4.1.3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $24 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 4.1.3.6

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $24$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 4.1.3.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 4.1.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{7}])$

خطوة 4.1.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3 \cdot 1) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 4.1.3.10

اضرب $- 3$ في $1$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} (0 - 3) + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 4.1.3.11

اطرح $3$ من $0$ .

$72 x^{2} - 3 (x^{7} \cdot - 3 + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 4.1.3.12

انقُل $- 3$ إلى يسار $x^{7}$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 \cdot x^{7} + (24 - 3 x) (7 x^{6}))$

خطوة 4.1.3.13

انقُل $7$ إلى يسار $24 - 3 x$ .

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 (24 - 3 x) x^{6})$

خطوة 4.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + (7 \cdot 24 + 7 (- 3 x)) x^{6})$

خطوة 4.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7} + 7 \cdot 24 x^{6} + 7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 4.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$72 x^{2} - 3 (- 3 x^{7}) - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 4.1.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.4.1

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (7 \cdot 24 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 4.1.4.4.2

اضرب $7$ في $24$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 3 (168 x^{6}) - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 4.1.4.4.3

اضرب $168$ في $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (7 (- 3 x) x^{6})$

خطوة 4.1.4.4.4

اضرب $- 3$ في $7$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x \cdot x^{6})$

خطوة 4.1.4.4.5

اضرب $x$ في $x^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.4.5.1

انقُل $x^{6}$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x))$

خطوة 4.1.4.4.5.2

اضرب $x^{6}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.4.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 (x^{6} x^{1}))$

خطوة 4.1.4.4.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{6 + 1})$

خطوة 4.1.4.4.5.3

أضف $6$ و $1$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} - 3 (- 21 x^{7})$

خطوة 4.1.4.4.6

اضرب $- 21$ في $- 3$ .

$72 x^{2} + 9 x^{7} - 504 x^{6} + 63 x^{7}$

خطوة 4.1.4.4.7

أضف $9 x^{7}$ و $63 x^{7}$ .

$72 x^{2} + 72 x^{7} - 504 x^{6}$

خطوة 4.1.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = 72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

خطوة 4.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$

خطوة 5

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2} = 0$

خطوة 5.2

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

خطوة 6

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 7

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = - 0.60223321, 0, 0.62944187, 6.9995834$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - 0.60223321$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$504 {(- 0.60223321)}^{6} - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

ارفع $- 0.60223321$ إلى القوة $6$ .

$504 \cdot 0.04770767 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

خطوة 9.1.2

اضرب $504$ في $0.04770767$ .

$24.04466629 - 3024 {(- 0.60223321)}^{5} + 144 (- 0.60223321)$

خطوة 9.1.3

ارفع $- 0.60223321$ إلى القوة $5$ .

$24.04466629 - 3024 \cdot - 0.07921793 + 144 (- 0.60223321)$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 3024$ في $- 0.07921793$ .

$24.04466629 + 239.55503398 + 144 (- 0.60223321)$

خطوة 9.1.5

اضرب $144$ في $- 0.60223321$ .

$24.04466629 + 239.55503398 - 86.72158264$

خطوة 9.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $24.04466629$ و $239.55503398$ .

$263.59970027 - 86.72158264$

خطوة 9.2.2

اطرح $86.72158264$ من $263.59970027$ .

$176.87811762$

خطوة 10

$x = - 0.60223321$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - 0.60223321$ هي حد أدنى محلي

خطوة 11

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - 0.60223321$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.60223321$ في العبارة.

$f (- 0.60223321) = 24 {(- 0.60223321)}^{3} - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

خطوة 11.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

ارفع $- 0.60223321$ إلى القوة $3$ .

$f (- 0.60223321) = 24 \cdot - 0.21842085 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

خطوة 11.2.1.2

اضرب $24$ في $- 0.21842085$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{4} \cdot ({(- 0.60223321)}^{3} (24 - 3 \cdot - 0.60223321))$

خطوة 11.2.1.3

اضرب ${(- 0.60223321)}^{4}$ في ${(- 0.60223321)}^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.3.1

انقُل ${(- 0.60223321)}^{3}$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 ({(- 0.60223321)}^{3} {(- 0.60223321)}^{4}) \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

خطوة 11.2.1.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{3 + 4} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

خطوة 11.2.1.3.3

أضف $3$ و $4$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 {(- 0.60223321)}^{7} \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

خطوة 11.2.1.4

ارفع $- 0.60223321$ إلى القوة $7$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 - 3 \cdot - 0.02873114 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

خطوة 11.2.1.5

اضرب $- 3$ في $- 0.02873114$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 - 3 \cdot - 0.60223321)$

خطوة 11.2.1.6

اضرب $- 3$ في $- 0.60223321$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot (24 + 1.80669963)$

خطوة 11.2.1.7

أضف $24$ و $1.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 0.08619343 \cdot 25.80669963$

خطوة 11.2.1.8

اضرب $0.08619343$ في $25.80669963$ .

$f (- 0.60223321) = - 5.24210059 + 2.22436801$

خطوة 11.2.2

أضف $- 5.24210059$ و $2.22436801$ .

$f (- 0.60223321) = - 3.01773257$

خطوة 11.2.3

الإجابة النهائية هي $- 3.01773257$ .

$y = - 3.01773257$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$504 {(0)}^{6} - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$504 \cdot 0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

خطوة 13.1.2

اضرب $504$ في $0$ .

$0 - 3024 {(0)}^{5} + 144 (0)$

خطوة 13.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 - 3024 \cdot 0 + 144 (0)$

خطوة 13.1.4

اضرب $- 3024$ في $0$ .

$0 + 0 + 144 (0)$

خطوة 13.1.5

اضرب $144$ في $0$ .

$0 + 0 + 0$

خطوة 13.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$0 + 0$

خطوة 13.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 14

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, - 0.60223321) \cup (- 0.60223321, 0) \cup (0, 0.62944187) \cup (0.62944187, 6.9995834) \cup (6.9995834, \infty)$

خطوة 14.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 3$ ، من الفترة $(- \infty, - 0.60223321)$ في المشتق الأول $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f' (- 3) = 72 {(- 3)}^{7} - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

خطوة 14.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $7$ .

$f' (- 3) = 72 \cdot - 2187 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

خطوة 14.2.2.1.2

اضرب $72$ في $- 2187$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 {(- 3)}^{6} + 72 {(- 3)}^{2}$

خطوة 14.2.2.1.3

ارفع $- 3$ إلى القوة $6$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 504 \cdot 729 + 72 {(- 3)}^{2}$

خطوة 14.2.2.1.4

اضرب $- 504$ في $729$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 {(- 3)}^{2}$

خطوة 14.2.2.1.5

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 72 \cdot 9$

خطوة 14.2.2.1.6

اضرب $72$ في $9$ .

$f' (- 3) = - 157464 - 367416 + 648$

خطوة 14.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.2.1

اطرح $367416$ من $- 157464$ .

$f' (- 3) = - 524880 + 648$

خطوة 14.2.2.2.2

أضف $- 524880$ و $648$ .

$f' (- 3) = - 524232$

خطوة 14.2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 524232$ .

$- 524232$

خطوة 14.3

عوّض بأي عدد، مثل $- 0.3$ ، من الفترة $(- 0.60223321, 0)$ في المشتق الأول $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.3$ في العبارة.

$f' (- 0.3) = 72 {(- 0.3)}^{7} - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

خطوة 14.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1.1

ارفع $- 0.3$ إلى القوة $7$ .

$f' (- 0.3) = 72 \cdot - 0.0002187 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

خطوة 14.3.2.1.2

اضرب $72$ في $- 0.0002187$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 {(- 0.3)}^{6} + 72 {(- 0.3)}^{2}$

خطوة 14.3.2.1.3

ارفع $- 0.3$ إلى القوة $6$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 504 \cdot 0.000729 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

خطوة 14.3.2.1.4

اضرب $- 504$ في $0.000729$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 {(- 0.3)}^{2}$

خطوة 14.3.2.1.5

ارفع $- 0.3$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 72 \cdot 0.09$

خطوة 14.3.2.1.6

اضرب $72$ في $0.09$ .

$f' (- 0.3) = - 0.0157464 - 0.367416 + 6.48$

خطوة 14.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.2.1

اطرح $0.367416$ من $- 0.0157464$ .

$f' (- 0.3) = - 0.3831624 + 6.48$

خطوة 14.3.2.2.2

أضف $- 0.3831624$ و $6.48$ .

$f' (- 0.3) = 6.0968376$

خطوة 14.3.2.3

الإجابة النهائية هي $6.0968376$ .

$6.0968376$

خطوة 14.4

عوّض بأي عدد، مثل $0.31$ ، من الفترة $(0, 0.62944187)$ في المشتق الأول $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.31$ في العبارة.

$f' (0.31) = 72 {(0.31)}^{7} - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

خطوة 14.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1.1

ارفع $0.31$ إلى القوة $7$ .

$f' (0.31) = 72 \cdot 0.00027512 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

خطوة 14.4.2.1.2

اضرب $72$ في $0.00027512$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 {(0.31)}^{6} + 72 {(0.31)}^{2}$

خطوة 14.4.2.1.3

ارفع $0.31$ إلى القوة $6$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 504 \cdot 0.0008875 + 72 {(0.31)}^{2}$

خطوة 14.4.2.1.4

اضرب $- 504$ في $0.0008875$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 {(0.31)}^{2}$

خطوة 14.4.2.1.5

ارفع $0.31$ إلى القوة $2$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 72 \cdot 0.0961$

خطوة 14.4.2.1.6

اضرب $72$ في $0.0961$ .

$f' (0.31) = 0.01980908 - 0.44730185 + 6.9192$

خطوة 14.4.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.2.1

اطرح $0.44730185$ من $0.01980908$ .

$f' (0.31) = - 0.42749277 + 6.9192$

خطوة 14.4.2.2.2

أضف $- 0.42749277$ و $6.9192$ .

$f' (0.31) = 6.49170722$

خطوة 14.4.2.3

الإجابة النهائية هي $6.49170722$ .

$6.49170722$

خطوة 14.5

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(0.62944187, 6.9995834)$ في المشتق الأول $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = 72 {(4)}^{7} - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

خطوة 14.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $7$ .

$f' (4) = 72 \cdot 16384 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

خطوة 14.5.2.1.2

اضرب $72$ في $16384$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 {(4)}^{6} + 72 {(4)}^{2}$

خطوة 14.5.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $6$ .

$f' (4) = 1179648 - 504 \cdot 4096 + 72 {(4)}^{2}$

خطوة 14.5.2.1.4

اضرب $- 504$ في $4096$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 {(4)}^{2}$

خطوة 14.5.2.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 72 \cdot 16$

خطوة 14.5.2.1.6

اضرب $72$ في $16$ .

$f' (4) = 1179648 - 2064384 + 1152$

خطوة 14.5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.5.2.2.1

اطرح $2064384$ من $1179648$ .

$f' (4) = - 884736 + 1152$

خطوة 14.5.2.2.2

أضف $- 884736$ و $1152$ .

$f' (4) = - 883584$

خطوة 14.5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 883584$ .

$- 883584$

خطوة 14.6

عوّض بأي عدد، مثل $9$ ، من الفترة $(6.9995834, \infty)$ في المشتق الأول $72 x^{7} - 504 x^{6} + 72 x^{2}$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $9$ في العبارة.

$f' (9) = 72 {(9)}^{7} - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

خطوة 14.6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.2.1.1

ارفع $9$ إلى القوة $7$ .

$f' (9) = 72 \cdot 4782969 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

خطوة 14.6.2.1.2

اضرب $72$ في $4782969$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 {(9)}^{6} + 72 {(9)}^{2}$

خطوة 14.6.2.1.3

ارفع $9$ إلى القوة $6$ .

$f' (9) = 344373768 - 504 \cdot 531441 + 72 {(9)}^{2}$

خطوة 14.6.2.1.4

اضرب $- 504$ في $531441$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 {(9)}^{2}$

خطوة 14.6.2.1.5

ارفع $9$ إلى القوة $2$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 72 \cdot 81$

خطوة 14.6.2.1.6

اضرب $72$ في $81$ .

$f' (9) = 344373768 - 267846264 + 5832$

خطوة 14.6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.6.2.2.1

اطرح $267846264$ من $344373768$ .

$f' (9) = 76527504 + 5832$

خطوة 14.6.2.2.2

أضف $76527504$ و $5832$ .

$f' (9) = 76533336$

خطوة 14.6.2.3

الإجابة النهائية هي $76533336$ .

$76533336$

خطوة 14.7

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = - 0.60223321$ ، إذن $x = - 0.60223321$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = - 0.60223321$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.8

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 0$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 14.9

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من موجب إلى سالب حول $x = 0.62944187$ ، إذن $x = 0.62944187$ تمثل حدًا أقصى محليًا.

$x = 0.62944187$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14.10

بما أن علامة المشتق الأول تغيّرت من سالب إلى موجب حول $x = 6.9995834$ ، إذن $x = 6.9995834$ تمثل حدًا أدنى محليًا.

$x = 6.9995834$ هي حد أدنى محلي

خطوة 14.11

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 24 x^{3} - 3 x^{4} \cdot (x^{3} (24 - 3 x))$ .

$x = - 0.60223321$ هي حد أدنى محلي

$x = 0.62944187$ هي حد أقصى محلي

$x = 6.9995834$ هي حد أدنى محلي

$x = - 0.60223321$ هي حد أدنى محلي

$x = 0.62944187$ هي حد أقصى محلي

$x = 6.9995834$ هي حد أدنى محلي

خطوة 15