حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x - \sin (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$2 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$2 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 1.3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - (\cos (2 x) \cdot 2)$

خطوة 1.3.6

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 - (2 \cdot \cos (2 x))$

خطوة 1.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 - 2 \cos (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \cos (2 x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 \cos (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

خطوة 2.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

خطوة 2.2.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- 2 \sin (2 x))$

خطوة 2.2.7

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 4 \sin (2 x)$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $4 \sin (2 x)$ .

$f'' (x) = 4 \sin (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 - 2 \cos (2 x) = 0$

خطوة 4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \cos (2 x) = - 2$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (2 x) = - 2$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- 2 \cos (2 x) = - 2$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \cos (2 x)}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $\cos (2 x)$ على $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 2}{- 2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 2$ .

$\cos (2 x) = 1$

خطوة 6

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (1)$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$2 x = 0$

خطوة 8

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اقسِم كل حد في $2 x = 0$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 8.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

خطوة 8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x = 0$

خطوة 9

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 π - 0$

خطوة 10

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$2 x = 2 π + 0$

خطوة 10.1.2

أضف $2 π$ و $0$ .

$2 x = 2 π$

خطوة 10.2

اقسِم كل حد في $2 x = 2 π$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 2 π$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 π}{2}$

خطوة 10.2.3.1.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$x = π$

خطوة 11

حل المعادلة $2 x = 0$ .

$x = 0, π$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 0$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \sin (2 (0))$

خطوة 13

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اضرب $2$ في $0$ .

$4 \sin (0)$

خطوة 13.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$4 \cdot 0$

خطوة 13.3

اضرب $4$ في $0$ .

$0$

خطوة 14

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, π) \cup (π, \infty)$

خطوة 14.2

عوّض بأي عدد، مثل $- 2$ ، من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الأول $2 - 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (2 (- 2))$

خطوة 14.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cos (- 4)$

خطوة 14.2.2.1.2

احسِب قيمة $\cos (- 4)$ .

$f' (- 2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

خطوة 14.2.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 0.65364362$ .

$f' (- 2) = 2 + 1.30728724$

خطوة 14.2.2.2

أضف $2$ و $1.30728724$ .

$f' (- 2) = 3.30728724$

خطوة 14.2.2.3

الإجابة النهائية هي $3.30728724$ .

$3.30728724$

خطوة 14.3

عوّض بأي عدد، مثل $2$ ، من الفترة $(0, π)$ في المشتق الأول $2 - 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = 2 - 2 \cos (2 (2))$

خطوة 14.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cos (4)$

خطوة 14.3.2.1.2

احسِب قيمة $\cos (4)$ .

$f' (2) = 2 - 2 \cdot - 0.65364362$

خطوة 14.3.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 0.65364362$ .

$f' (2) = 2 + 1.30728724$

خطوة 14.3.2.2

أضف $2$ و $1.30728724$ .

$f' (2) = 3.30728724$

خطوة 14.3.2.3

الإجابة النهائية هي $3.30728724$ .

$3.30728724$

خطوة 14.4

عوّض بأي عدد، مثل $6$ ، من الفترة $(π, \infty)$ في المشتق الأول $2 - 2 \cos (2 x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f' (6) = 2 - 2 \cos (2 (6))$

خطوة 14.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.2.1.1

اضرب $2$ في $6$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cos (12)$

خطوة 14.4.2.1.2

احسِب قيمة $\cos (12)$ .

$f' (6) = 2 - 2 \cdot 0.84385395$

خطوة 14.4.2.1.3

اضرب $- 2$ في $0.84385395$ .

$f' (6) = 2 - 1.68770791$

خطوة 14.4.2.2

اطرح $1.68770791$ من $2$ .

$f' (6) = 0.31229208$

خطوة 14.4.2.3

الإجابة النهائية هي $0.31229208$ .

$0.31229208$

خطوة 14.5

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = 0$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 14.6

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية لـ $f (x) = 2 x - \sin (2 x)$ .

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية

خطوة 15