حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

خطوة 1.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sqrt[3]{x}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{0^{3}}}$

خطوة 1.1.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.3.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt[3]{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

خطوة 1.3.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]}$

خطوة 1.3.3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}}$

خطوة 1.3.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

خطوة 1.3.6

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

خطوة 1.3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}}$

خطوة 1.3.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}}$

خطوة 1.3.8.2

اطرح $3$ من $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}$

خطوة 1.3.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}}$

خطوة 1.3.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.10.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}}$

خطوة 1.3.10.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} \cos (x) (3 x^{\frac{2}{3}})$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x^{\frac{2}{3}}$

خطوة 2.4

انقُل الأُس $\frac{2}{3}$ من $x^{\frac{2}{3}}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$3 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$3 \cos (0) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$3 \cos (0) \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$3 \cdot 1 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.4

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

خطوة 4.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

خطوة 4.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 \cdot 0^{2}$

خطوة 4.6

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 \cdot 0$

خطوة 4.7

اضرب $3$ في $0$ .

$0$