حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) d x$

خطوة 1

أخرِج عامل $\sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

خطوة 2

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 3.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 3.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{0} - 1 + u^{2} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{0} - 1 d u + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$- u]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} u^{2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u]_{1}^{0} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

خطوة 7

اجمع $- u]_{1}^{0}$ و $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$ .

$- u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ في $0$ وفي $1$ .

$(- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 8.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 8.2.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $0$ .

$0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 8.2.4

أضف $0$ و $0$ .

$0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 8.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

خطوة 8.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1)$

خطوة 8.2.7

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$0 - (- 1 + \frac{1}{3})$

خطوة 8.2.8

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

خطوة 8.2.9

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

خطوة 8.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

خطوة 8.2.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.11.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$0 - \frac{- 3 + 1}{3}$

خطوة 8.2.11.2

أضف $- 3$ و $1$ .

$0 - \frac{- 2}{3}$

خطوة 8.2.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$0 - - \frac{2}{3}$

خطوة 8.2.13

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{2}{3})$

خطوة 8.2.14

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$0 + \frac{2}{3}$

خطوة 8.2.15

أضف $0$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{3}$

الصيغة العشرية:

$0.\overline{6}$