حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

خطوة 1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\tan (3 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\tan (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

خطوة 1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

خطوة 1.4.2

حوّل من $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ إلى $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

خطوة 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

خطوة 2.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

خطوة 3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

خطوة 4

انظر الحد أيسر الجانب.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

خطوة 5

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\tan (x)$ عند اقتراب $x$ من $90$ من جهة اليسار.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

خطوة 6

عند اقتراب قيم $x$ من $90$ ، تقترب قيم الدالة من $- 1.995$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\tan (x)$ عند اقتراب $x$ من $90$ من جهة اليسار تساوي $- 1.995$ .

$- 1.995$

خطوة 7

انظر الحد أيمن الجانب.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

خطوة 8

أنشئ جدولاً لعرض سلوك الدالة $\tan (x)$ عند اقتراب $x$ من $90$ من جهة اليمين.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

خطوة 9

عند اقتراب قيم $x$ من $90$ ، تقترب قيم الدالة من $- 1.995$ . ومن ثمَّ، فإن نهاية $\tan (x)$ عند اقتراب $x$ من $90$ من جهة اليمين تساوي $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $3$ في $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

خطوة 10.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

خطوة 10.3

القيمة الدقيقة لـ $\cot (90)$ هي $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

خطوة 10.4

اضرب $- 1.995$ في $0$ .

$0$