حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to e} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x - e}}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x - e}}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x - e}})}$ .

$lim_{x \to e} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x - e}})}$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x - e}})$ بنقل $\frac{1}{x - e}$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{x \to e} e^{\frac{1}{x - e} \ln (\ln (x))}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{x \to e} \frac{1}{x - e} \ln (\ln (x))}$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{1}{x - e}$ و $\ln (\ln (x))$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\ln (\ln (x))}{x - e}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$e^{\frac{lim_{x \to e} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to e} x - e}}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to e} \ln (x))}{lim_{x \to e} x - e}}$

خطوة 3.1.2.1.2

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{\ln (\ln (lim_{x \to e} x))}{lim_{x \to e} x - e}}$

خطوة 3.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $e$ .

$e^{\frac{\ln (\ln (e))}{lim_{x \to e} x - e}}$

خطوة 3.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.3.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to e} x - e}}$

خطوة 3.1.2.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to e} x - e}}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $e$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to e} x - lim_{x \to e} e}}$

خطوة 3.1.3.1.2

احسِب قيمة حد $e$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $e$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to e} x - e}}$

خطوة 3.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $e$ .

$e^{\frac{0}{e - e}}$

خطوة 3.1.3.3

اطرح $e$ من $e$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$e^{\frac{0}{0}}$

خطوة 3.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to e} \frac{\ln (\ln (x))}{x - e} = lim_{x \to e} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x - e]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x - e]}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - e]}}$

خطوة 3.3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - e]}}$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - e]}}$

خطوة 3.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - e]}}$

خطوة 3.3.4

اضرب $\frac{1}{\ln (x)}$ في $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [x - e]}}$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x - e]}}$

خطوة 3.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - e$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]}}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1 + \frac{d}{d x} [- e]}}$

خطوة 3.3.8

بما أن $- e$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- e$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1 + 0}}$

خطوة 3.3.9

أضف $1$ و $0$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$e^{lim_{x \to e} \frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1}$

خطوة 3.5

اضرب $\frac{1}{x \ln (x)}$ في $1$ .

$e^{lim_{x \to e} \frac{1}{x \ln (x)}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $e$ .

$e^{\frac{lim_{x \to e} 1}{lim_{x \to e} x \ln (x)}}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $e$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to e} x \ln (x)}}$

خطوة 4.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $e$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to e} x \cdot lim_{x \to e} \ln (x)}}$

خطوة 4.4

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to e} x \cdot \ln (lim_{x \to e} x)}}$

خطوة 5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $e$ .

$e^{\frac{1}{e \cdot \ln (lim_{x \to e} x)}}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $e$ .

$e^{\frac{1}{e \cdot \ln (e)}}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$e^{\frac{1}{e \cdot 1}}$

خطوة 6.2

اضرب $e$ في $1$ .

$e^{\frac{1}{e}}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e^{\frac{1}{e}}$

الصيغة العشرية:

$1.44466786 \dots$