حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

خطوة 1

انقُل الأُس $3$ من ${(\frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

${(lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 x}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{4}})}^{3}$

خطوة 2

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3 x}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x^{4}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{4}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3 x^{4}}{x^{4}}}}^{3}$

خطوة 3.2.2.2

اقسِم $3$ على $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3}}^{3}$

خطوة 3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

خطوة 4

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{4}}$ يقترب من $0$ .

${(\frac{0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

خطوة 5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

${(\frac{0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3}}$ يقترب من $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{4}{x^{2}} + 3})}^{3}$

خطوة 7

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

خطوة 8

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{4}}$ يقترب من $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

خطوة 9

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

خطوة 10

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3})}^{3}$

خطوة 11

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة حد $3$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 4 \cdot 0 + 3})}^{3}$

خطوة 11.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0 + 3 \cdot 0$ و $0 + 4 \cdot 0 + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

${(\frac{0 + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

خطوة 11.2.1.2

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 \cdot 0}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

خطوة 11.2.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot 0$ .

${(\frac{3 (0) + 3 (0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

خطوة 11.2.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (0) + 3 (0)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

خطوة 11.2.1.5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 3})}^{3}$

خطوة 11.2.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $0 \cdot 4$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 \cdot 0 + 3 (0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

خطوة 11.2.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (0) + 3 (0 \cdot 4)$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3})}^{3}$

خطوة 11.2.1.5.4

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1})}^{3}$

خطوة 11.2.1.5.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (0 + 0 \cdot 4) + 3 \cdot 1$ .

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

خطوة 11.2.1.5.6

ألغِ العامل المشترك.

${(\frac{3 (0 + 0)}{3 (0 + 0 \cdot 4 + 1)})}^{3}$

خطوة 11.2.1.5.7

أعِد كتابة العبارة.

${(\frac{0 + 0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

خطوة 11.2.2

أضف $0$ و $0$ .

${(\frac{0}{0 + 0 \cdot 4 + 1})}^{3}$

خطوة 11.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

اضرب $0$ في $4$ .

${(\frac{0}{0 + 0 + 1})}^{3}$

خطوة 11.2.3.2

أضف $0$ و $0$ .

${(\frac{0}{0 + 1})}^{3}$

خطوة 11.2.3.3

أضف $0$ و $1$ .

${(\frac{0}{1})}^{3}$

خطوة 11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$0^{3}$

خطوة 11.2.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$0$