حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{3} + 2 x - 5}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 2 x - 5}$

خطوة 1.1.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 2 x - 5}$

خطوة 1.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{x^{3} + 2 x - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 5]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 5]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x - 5]}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 2 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

خطوة 1.3.5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

خطوة 1.3.6

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2 + 0}$

خطوة 1.3.7

أضف $3 x^{2} + 2$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} + 2}$

خطوة 2.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 x^{2} + 2} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2]}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 2.3.4.3

اضرب $2$ في $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x + \frac{d}{d x} [2]}$

خطوة 2.3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x + 0}$

خطوة 2.3.6

أضف $6 x$ و $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

خطوة 3.1.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 6 x}$

خطوة 3.1.3

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [6 x]}$

خطوة 3.3.3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6 \cdot 1}$

خطوة 3.3.5

اضرب $6$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{6}$

خطوة 4

بما أن الدالة $e^{x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $\frac{1}{6}$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $\frac{1}{6}$ المحذوف.

$lim_{x \to \infty} e^{x}$

خطوة 4.2

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\infty$