حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 8 {(\frac{1}{2})}^{8}}{h}$

خطوة 1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج السالب.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (8 {(\frac{1}{2})}^{8})}{h}$

خطوة 1.1.1.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(\frac{1}{2})}^{8})}{h}$

خطوة 1.1.1.3

أعِد كتابة $\frac{1}{2}$ بالصيغة $2^{- 1}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(2^{- 1})}^{8})}{h}$

خطوة 1.1.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {({(2^{1})}^{- 1})}^{8})}{h}$

خطوة 1.1.1.5

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(2^{1 \cdot - 1})}^{8})}{h}$

خطوة 1.1.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} {(2^{- 1})}^{8})}{h}$

خطوة 1.1.1.7

اضرب الأُسس في ${(2^{- 1})}^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.7.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} \cdot 2^{- 1 \cdot 8})}{h}$

خطوة 1.1.1.7.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - (2^{3} \cdot 2^{- 8})}{h}$

خطوة 1.1.1.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 2^{3 - 8}}{h}$

خطوة 1.1.1.9

اطرح $8$ من $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h)}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

خطوة 1.1.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لكتابة $h$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + h \cdot \frac{2}{2})}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

خطوة 1.1.2.2

اجمع $h$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1}{2} + \frac{h \cdot 2}{2})}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

خطوة 1.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 2^{- 5}}{h}$

خطوة 1.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - \frac{1}{2^{5}}}{h}$

خطوة 1.2.1.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

لكتابة $8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2^{5}}{2^{5}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot \frac{2^{5}}{2^{5}} - \frac{1}{2^{5}}}{h}$

خطوة 1.2.1.2.2

اجمع $8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}$ و $\frac{2^{5}}{2^{5}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot 2^{5}}{2^{5}} - \frac{1}{2^{5}}}{h}$

خطوة 1.2.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot 2^{5} - 1}{2^{5}}}{h}$

خطوة 1.2.2

بسّط المتغير المستقل للنهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{h \to 0} \frac{8 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} \cdot 2^{5} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 1.2.2.2

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{5} \cdot 2^{3} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 1.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{5 + 3} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 1.2.2.2.3

أضف $5$ و $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 1.2.2.2.4

اضرب $\frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5}}$ في $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{2^{5} h}$

خطوة 1.3

انقُل الحد $\frac{1}{2^{5}}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{h}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.1.2

انقُل الحد $2^{8}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} lim_{h \to 0} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.1.3

انقُل الأُس $8$ من ${(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(lim_{h \to 0} \frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.1.4

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} lim_{h \to 0} 1 + h \cdot 2)}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.1.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} h \cdot 2))}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.1.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + lim_{h \to 0} h \cdot 2))}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.1.7

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + 2 lim_{h \to 0} h))}^{8} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.1.8

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + 2 lim_{h \to 0} h))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{2^{8} {(\frac{1}{2} (1 + 2 \cdot 0))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $8$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2} (1 + 2 \cdot 0))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2} (1 + 0))}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.3

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2} \cdot 1)}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 {(\frac{1}{2})}^{8} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 \frac{1^{8}}{2^{8}} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 \frac{1}{2^{8}} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $8$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 (\frac{1}{256}) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $256$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{256 (\frac{1}{256}) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.1.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.2.3.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{h \to 0} \frac{2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [2^{8} {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $8$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8} - 1$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + h \cdot 2}{2})}^{8}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

انقُل $2$ إلى يسار $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [256 {(\frac{1 + 2 \cdot h}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.2

بما أن $256$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $256 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{8}$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $256 \frac{d}{d h} [{(\frac{1 + 2 h}{2})}^{8}]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \frac{d}{d h} [{(\frac{1 + 2 h}{2})}^{8}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = h^{8}$ و $g (h) = \frac{1 + 2 h}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1 + 2 h}{2}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d h} [\frac{1 + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{d}{d h} [\frac{1 + 2 h}{2}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $\frac{1 + 2 h}{2}$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d h} [1 + 2 h]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} \frac{d}{d h} [1 + 2 h] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 2 h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [2 h]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (\frac{d}{d h} [1] + \frac{d}{d h} [2 h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + \frac{d}{d h} [2 h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، إذن مشتق $2 h$ بالنسبة إلى $h$ يساوي $2 \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + 2 \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + 2 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.9

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} (0 + 2) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.10

أضف $0$ و $2$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.12

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.12.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \frac{2}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.12.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.13

اضرب $8$ في $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{256 \cdot 8 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.4.14

اضرب $8$ في $256$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 {(\frac{1 + 2 h}{2})}^{7} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1 + 2 h}{2}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 \frac{{(1 + 2 h)}^{7}}{2^{7}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $7$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{2048 \frac{{(1 + 2 h)}^{7}}{128} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.2

اجمع $2048$ و $\frac{{(1 + 2 h)}^{7}}{128}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{2048 {(1 + 2 h)}^{7}}{128} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2048$ و $128$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.3.1

أخرِج العامل $128$ من $2048 {(1 + 2 h)}^{7}$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{128 \cdot 16 {(1 + 2 h)}^{7}}{128} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.3.2.1

أخرِج العامل $128$ من $128$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{128 \cdot 16 {(1 + 2 h)}^{7}}{128 (1)} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{128 \cdot 16 {(1 + 2 h)}^{7}}{128 \cdot 1} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{\frac{16 {(1 + 2 h)}^{7}}{1} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.3.2.4

اقسِم $16 {(1 + 2 h)}^{7}$ على $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{16 {(1 + 2 h)}^{7} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.6.2.4

أضف $16 {(1 + 2 h)}^{7}$ و $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{16 {(1 + 2 h)}^{7}}{\frac{d}{d h} [h]}$

خطوة 2.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} \frac{16 {(1 + 2 h)}^{7}}{1}$

خطوة 2.4

اقسِم $16 {(1 + 2 h)}^{7}$ على $1$ .

$\frac{1}{2^{5}} lim_{h \to 0} 16 {(1 + 2 h)}^{7}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $16$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 lim_{h \to 0} {(1 + 2 h)}^{7}$

خطوة 3.2

انقُل الأُس $7$ من ${(1 + 2 h)}^{7}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(lim_{h \to 0} 1 + 2 h)}^{7}$

خطوة 3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(lim_{h \to 0} 1 + lim_{h \to 0} 2 h)}^{7}$

خطوة 3.4

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(1 + lim_{h \to 0} 2 h)}^{7}$

خطوة 3.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(1 + 2 lim_{h \to 0} h)}^{7}$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{2^{5}} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$\frac{1}{32} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$\frac{1}{16 (2)} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{16 \cdot 2} \cdot 16 {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} {(1 + 2 \cdot 0)}^{7}$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $0$ .

$\frac{1}{2} {(1 + 0)}^{7}$

خطوة 5.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{7}$

خطوة 5.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 5.6

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$