حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(\frac{3}{x - 2})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{3}{x - 2})}^{3})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\frac{3}{x - 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{3}{x - 2}$ .

$3 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{x - 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}])$

خطوة 3.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اضرب $3$ في $3$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

خطوة 3.2.2.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x - 2}$ بالصيغة ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 2$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 2$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $- 1$ في $9$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 3.4.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

خطوة 3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

خطوة 3.4.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + 0))$

خطوة 3.4.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} \cdot 1)$

خطوة 3.4.5.2

اضرب ${(x - 2)}^{- 2}$ في $1$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} {(x - 2)}^{- 2}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{x - 2}$ .

$- 9 \frac{3^{2}}{{(x - 2)}^{2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- 9 \frac{9}{{(x - 2)}^{2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3.2

اجمع $- 9$ و $\frac{9}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 \cdot 9}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3.3

اضرب $- 9$ في $9$ .

$\frac{- 81}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3.5

اضرب $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ في $\frac{81}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

خطوة 3.5.3.6

اضرب ${(x - 2)}^{2}$ في ${(x - 2)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.6.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2 + 2}}$

خطوة 3.5.3.6.2

أضف $2$ و $2$ .

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$