حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4^{x} - 2^{x}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 2^{x}}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - 2^{x}}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4^{x} - lim_{x \to 0} 2^{x}}$

خطوة 1.1.3.2

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2^{x}}$

خطوة 1.1.3.3

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{0}{4^{lim_{x \to 0} x} - 2^{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 1.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{4^{0} - 2^{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 1.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{4^{0} - 2^{0}}$

خطوة 1.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.5.1.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{0}{1 - 2^{0}}$

خطوة 1.1.3.5.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.5.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

خطوة 1.1.3.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.5.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4^{x} - 2^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 2^{x}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 2^{x}]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x} - 2^{x}]}$

خطوة 1.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4^{x} - 2^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{4^{x} \ln (4) + \frac{d}{d x} [- 2^{x}]}$

خطوة 1.3.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.5.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [2^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{4^{x} \ln (4) - \frac{d}{d x} [2^{x}]}$

خطوة 1.3.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{4^{x} \ln (4) - 2^{x} \ln (2)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4) - 2^{x} \ln (2)}$

خطوة 2.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4) - 2^{x} \ln (2)}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} 4^{x} \ln (4) - lim_{x \to 0} 2^{x} \ln (2)}$

خطوة 2.4

انقُل الحد $\ln (4)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{\ln (4) lim_{x \to 0} 4^{x} - lim_{x \to 0} 2^{x} \ln (2)}$

خطوة 2.5

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{1}{\ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 2^{x} \ln (2)}$

خطوة 2.6

انقُل الحد $\ln (2)$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{1}{\ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x} - \ln (2) lim_{x \to 0} 2^{x}}$

خطوة 2.7

انقُل النهاية إلى الأُس.

$\frac{1}{\ln (4) \cdot 4^{lim_{x \to 0} x} - \ln (2) \cdot 2^{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\ln (4) \cdot 4^{0} - \ln (2) \cdot 2^{lim_{x \to 0} x}}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{\ln (4) \cdot 4^{0} - \ln (2) \cdot 2^{0}}$

خطوة 4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{\ln (4) \cdot 1 - \ln (2) \cdot 2^{0}}$

خطوة 4.2

اضرب $\ln (4)$ في $1$ .

$\frac{1}{\ln (4) - \ln (2) \cdot 2^{0}}$

خطوة 4.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{\ln (4) - \ln (2) \cdot 1}$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{\ln (4) - \ln (2)}$

خطوة 4.5

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{\ln (\frac{4}{2})}$

خطوة 4.6

اقسِم $4$ على $2$ .

$\frac{1}{\ln (2)}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{\ln (2)}$

الصيغة العشرية:

$1.44269504 \dots$