حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

خطوة 1

انقُل الحد $17$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل الأُس $3$ من ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.4

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.5

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.8.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.8.1.2

اضرب $- 2$ في $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.8.2

أضف $0$ و $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

خطوة 2.1.3.8.3

أضف $0$ و $1$ .

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

خطوة 2.1.3.8.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

خطوة 2.1.3.8.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$17 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.3.8.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$17 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.3.9

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$17 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$17 (\frac{0}{0})$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

خطوة 2.3.3.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.5

اجمع $3$ و $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.6

اجمع ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ و $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.7

انقُل $3$ إلى يسار ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.8

احذِف العامل المشترك لـ ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ و ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

أخرِج العامل ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ من $3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.2.1

أخرِج العامل ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ من ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

خطوة 2.3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

خطوة 2.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

خطوة 2.3.11

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

خطوة 2.3.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

خطوة 2.3.13

اضرب $- 2$ في $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

خطوة 2.3.14

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

خطوة 2.3.15

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

خطوة 2.3.16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

خطوة 2.3.16.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

خطوة 2.3.16.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 2.3.16.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

خطوة 2.3.16.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

خطوة 2.3.16.3

اضرب $2 x - 2$ في $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

خطوة 2.3.16.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

خطوة 2.3.16.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

خطوة 2.3.16.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

خطوة 2.3.16.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

خطوة 2.3.16.5

احذِف العامل المشترك لـ $x - 1$ و ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.5.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $6 (x - 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

خطوة 2.3.16.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.16.5.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من ${(x - 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

خطوة 2.3.16.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

خطوة 2.3.16.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

خطوة 2.5

اضرب $\frac{x - 1}{6}$ في $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $\frac{1}{6}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

خطوة 3.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

خطوة 4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $17$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

خطوة 5.3

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

خطوة 5.4

اضرب $\frac{17}{6} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $\frac{17}{6}$ و $- 1$ .

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

خطوة 5.4.2

اضرب $17$ في $- 1$ .

$\frac{- 17}{6}$

خطوة 5.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{17}{6}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{17}{6}$

الصيغة العشرية:

$- 2.8\overline{3}$