حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

خطوة 2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

خطوة 2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 1 + h$ و $b = 1$ .

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.2

أضف $h$ و $0$ .

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.3

أعِد كتابة ${(1 + h)}^{2}$ بالصيغة $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.4

وسّع $(1 + h) (1 + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.5.1.2

اضرب $h$ في $1$ .

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.5.1.3

اضرب $h$ في $1$ .

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.5.1.4

اضرب $h$ في $h$ .

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.5.2

أضف $h$ و $h$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.6

اضرب $1 + h$ في $1$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

خطوة 2.1.3.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

خطوة 2.1.3.8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

خطوة 2.1.3.9

أضف $2 h$ و $h$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

خطوة 2.1.3.10

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

خطوة 2.1.3.11

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

خطوة 2.2.2

اقسِم $h^{2} + 3 h + 3$ على $1$ .

$h^{2} + 3 h + 3$