حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)}$

خطوة 1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$- \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.3

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{\sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.7.1

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{\sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7.3

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.2.7.5

اضرب $0$ في $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 2.1.3.2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

خطوة 2.1.3.3

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 2.1.3.5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.5.1

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

خطوة 2.1.3.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot 0}$

خطوة 2.1.3.5.3

اضرب $0$ في $0$ .

$- \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.5.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.6

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)}{x \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \cdot \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (2 x)$ و $g (x) = \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.3.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.6

اضرب $4$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.7

انقُل $4$ إلى يسار $\sin (2 x) \cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.8.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.11

اضرب $2$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.12

انقُل $2$ إلى يسار $\sin (4 x) \cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \sin (2 x) \cos (4 x) + 2 \cdot \sin (4 x) \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.13

أعِد ترتيب الحدود.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 x)]}$

خطوة 2.3.14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.15.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.15.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.15.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.16

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.18

اضرب $3$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.19

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 2.3.20

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot 1}$

خطوة 2.3.21

اضرب $\sin (3 x)$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{x \cdot 3 \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 2.3.22

أعِد ترتيب الحدود.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$- \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 4 \cos (4 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.2

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{4 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \frac{4 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.7

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.8

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.9

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.10

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.11

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.12

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.13

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{4 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.14

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.14.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.14.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.14.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.14.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{4 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.15.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.15.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{4 \cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{4 \cdot 1 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.3

اضرب $4$ في $1$ .

$- \frac{4 \cdot \sin (2 \cdot 0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.4

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{4 \cdot \sin (0) + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{4 \cdot 0 + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.6

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{0 + 2 \cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.7

أعِد ترتيب $2 \cos (2 \cdot 0)$ و $\sin (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{0 + \sin (4 \cdot 0) \cdot 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.8

أعِد ترتيب $\sin (4 \cdot 0)$ و $2$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.9

أخرِج العامل $4$ من $2 \cdot 0$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (4 \cdot 2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.10

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{0 + 2 \cdot \sin (4 \cdot 0) \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.11

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$- \frac{0 + \sin (2 \cdot 4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.12

اضرب $2 (4 \cdot 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.15.1.12.1

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.12.2

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.1.13

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.2.15.2

أضف $0$ و $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.3.2

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.3.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.3.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.3.5

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}$

خطوة 3.1.3.6

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}$

خطوة 3.1.3.7

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{0}{3 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.1.3.8

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.8.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 lim_{x \to 0} x) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.1.3.8.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.1.3.8.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.9.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \cos (3 \cdot 0) + \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.9.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.9.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.9.1.4

اضرب $0$ في $1$ .

$- \frac{0}{0 + \sin (3 \cdot 0)}$

خطوة 3.1.3.9.1.5

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{0}{0 + \sin (0)}$

خطوة 3.1.3.9.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{0}{0 + 0}$

خطوة 3.1.3.9.2

أضف $0$ و $0$ .

$- \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.9.3

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.3.10

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{0}{0}$

خطوة 3.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \frac{0}{0}$

خطوة 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \cos (4 x) \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \sin (4 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \cos (4 x) \sin (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \cos (4 x) \sin (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (2 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (4 x)$ و $g (x) = \sin (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.3.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.6.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.9

اضرب $2$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cos (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.10

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (\cos (4 x) \cdot 2 \cdot \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.11

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.12

اضرب $4$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.3.13

اضرب $4$ في $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (2 x) \sin (4 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (4 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (2 x)$ و $g (x) = \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.3.2

مشتق $\sin (u_{3})$ بالنسبة إلى $u_{3}$ يساوي $\cos (u_{3})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $4 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.6.2

مشتق $\cos (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $- \sin (u_{4})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $2 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 \cdot 1 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.9

اضرب $4$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cos (4 x) \cdot 4 + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.10

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (\cos (2 x) \cdot 4 \cdot \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.11

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cdot \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.12

اضرب $2$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.4.13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cos (4 x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x)) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 2 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 (4 \cos (2 x) \cos (4 x) + \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 2 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.3.1

اضرب $2$ في $4$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) + 4 \sin (2 x) \cdot - 4 \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 2 \cdot 4 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3.3

اضرب $4$ في $2$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) + 2 \sin (4 x) \cdot - 2 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \cos (2 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3.5

أعِد ترتيب عوامل $8 \cos (4 x) \cos (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) + 8 \cos (2 x) \cos (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3.6

أضف $8 \cos (2 x) \cos (4 x)$ و $8 \cos (2 x) \cos (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) - 4 \sin (4 x) \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3.7

أعِد ترتيب عوامل $- 4 \sin (4 x) \sin (2 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 16 \sin (2 x) \sin (4 x) - 4 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.5.3.8

اطرح $4 \sin (2 x) \sin (4 x)$ من $- 16 \sin (2 x) \sin (4 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x \cos (3 x) + \sin (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x \cos (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x \cos (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.7.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.3.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.7

اضرب $3$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.7.9

اضرب $\cos (3 x)$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}$

خطوة 3.3.8

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.8.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 3.3.8.1.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 3.3.8.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

خطوة 3.3.8.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

خطوة 3.3.8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

خطوة 3.3.8.4

اضرب $3$ في $1$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + \cos (3 x) \cdot 3}$

خطوة 3.3.8.5

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 (x \cdot - 3 \sin (3 x) + \cos (3 x)) + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 3.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{3 x \cdot - 3 \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 3.3.9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.9.2.1

اضرب $- 3$ في $3$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) + 3 \cos (3 x)}$

خطوة 3.3.9.2.2

أضف $3 \cos (3 x)$ و $3 \cos (3 x)$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{- 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 16 \cos (2 x) \cos (4 x) - 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{lim_{x \to 0} 16 \cos (2 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.3

انقُل الحد $16$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{16 lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \frac{16 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.6

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 4 x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.8

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 20 \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.9

انقُل الحد $20$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.10

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.11

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.12

انقُل الحد $2$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.13

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.14

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 9 x \sin (3 x) + 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.15

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 9 x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.16

انقُل الحد $9$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.17

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.18

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.19

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 6 \cos (3 x)}$

خطوة 4.20

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}$

خطوة 4.21

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}$

خطوة 4.22

انقُل الحد $3$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$- \frac{16 \cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 lim_{x \to 0} x) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.4

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 lim_{x \to 0} x \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.6

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 5.7

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$- \frac{16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$ و $- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $16 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) - 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 20 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) + 2 (- 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0)) + 2 (- 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.1.4

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 6 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $6 \cos (3 \cdot 0)$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 2 (3 \cos (3 \cdot 0))}$

خطوة 6.1.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0)) + 2 (3 \cos (3 \cdot 0))$ .

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0))}$

خطوة 6.1.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{2 (8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0))}{2 (- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0))}$

خطوة 6.1.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{8 \cos (2 \cdot 0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{8 \cos (0) \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{8 \cdot 1 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.3

اضرب $8$ في $1$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (4 \cdot 0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.4

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{8 \cdot \cos (0) - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{8 \cdot 1 - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.6

اضرب $8$ في $1$ .

$- \frac{8 - 10 \sin (2 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.7

اضرب $2$ في $0$ .

$- \frac{8 - 10 \sin (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.8

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{8 - 10 \cdot 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.9

اضرب $- 10$ في $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot \sin (4 \cdot 0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.10

اضرب $4$ في $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot \sin (0)}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.11

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{8 + 0 \cdot 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.12

اضرب $0$ في $0$ .

$- \frac{8 + 0}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.2.13

أضف $8$ و $0$ .

$- \frac{8}{- 9 \cdot 0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $- 9$ في $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.3.2

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$- \frac{8}{0 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.3.4

اضرب $0$ في $0$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cos (3 \cdot 0)}$

خطوة 6.3.5

اضرب $3$ في $0$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cos (0)}$

خطوة 6.3.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- \frac{8}{0 + 3 \cdot 1}$

خطوة 6.3.7

اضرب $3$ في $1$ .

$- \frac{8}{0 + 3}$

خطوة 6.3.8

أضف $0$ و $3$ .

$- \frac{8}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{8}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 2.\overline{6}$