حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\cot (x)}}$

خطوة 1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

خطوة 1.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

خطوة 1.3

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1.1

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.1.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.1.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.1.4

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.1.5

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (4 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.3

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.3.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.2.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 2.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

خطوة 2.1.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + \sin (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sin (4 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.6.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.7

اجمع $\cos (4 x)$ و $\frac{1}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.8

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.9

اجمع $4$ و $\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.11

اضرب $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ في $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

خطوة 2.3.12

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 2.5

اضرب $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ في $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$4 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.4

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.6

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.7

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.8

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.9

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

خطوة 3.10

انقُل الأُس $2$ من $\sec^{2} (x)$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

خطوة 3.11

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $4$ في $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

خطوة 5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

خطوة 5.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $4$ في $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (0)) \sec^{2} (0)}$

خطوة 5.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + 0) \sec^{2} (0)}$

خطوة 5.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$4 \frac{1}{1 \sec^{2} (0)}$

خطوة 5.2.4

اضرب $\sec^{2} (0)$ في $1$ .

$4 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

خطوة 5.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$4 \frac{1}{1^{2}}$

خطوة 5.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (\frac{1}{1})$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{1}{1})$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cdot 1$

خطوة 5.4

اضرب $4$ في $1$ .

$4$