حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 1.1.2

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

احسِب قيمة حد $\arctan (x)$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 1.1.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 1.1.3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 1.1.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3.2

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

خطوة 1.3.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (x)}$

خطوة 1.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{1}{x^{2} + 1}$ في $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) \cos (x)}$

خطوة 2

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

خطوة 2.2

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

خطوة 2.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 2.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 2.5

انقُل الأُس $2$ من $x^{2}$ خارج النهاية باستخدام قاعدة القوة للنهايات.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 2.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $0$ .

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

خطوة 2.7

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة جيب التمام متصلة.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

خطوة 3.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $0$ .

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (0)}$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افصِل الكسور.

$\frac{1}{0^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

خطوة 4.2

حوّل من $\frac{1}{\cos (0)}$ إلى $\sec (0)$ .

$\frac{1}{0^{2} + 1} \sec (0)$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{0 + 1} \sec (0)$

خطوة 4.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1}{1} \sec (0)$

خطوة 4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1} \sec (0)$

خطوة 4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \sec (0)$

خطوة 4.5

اضرب $\sec (0)$ في $1$ .

$\sec (0)$

خطوة 4.6

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$1$