حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

خطوة 1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

خطوة 2

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

خطوة 3

انقُل الحد $π$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

خطوة 4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

خطوة 5

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

خطوة 6

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

خطوة 6.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $8$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $π$ و $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

خطوة 7.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

خطوة 7.2.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

خطوة 7.2.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الأول.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

خطوة 7.2.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

خطوة 7.2.4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

خطوة 7.2.4.5

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.5.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

خطوة 7.2.4.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

خطوة 7.2.4.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

خطوة 7.2.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 7.2.4.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 7.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 7.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

الصيغة العشرية:

$3.06146745 \dots$