حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

خطوة 1

طبّق المتطابقات المثلثية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\tan (5 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\tan (4 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

خطوة 1.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

خطوة 1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

حوّل من $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ إلى $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

خطوة 1.4.2

حوّل من $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ إلى $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

خطوة 2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

خطوة 3

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة المماس متصلة.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

خطوة 4

انقُل الحد $4$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

خطوة 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

خطوة 6

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

خطوة 7

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

خطوة 7.2

احسِب قيمة حد $x$ بالتعويض عن $x$ بـ $\frac{π}{2}$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

خطوة 8

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

خطوة 8.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

خطوة 8.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

خطوة 8.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

خطوة 8.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

خطوة 8.4

اجمع $5$ و $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

خطوة 8.5

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

خطوة 8.6

القيمة الدقيقة لـ $\cot (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$0 \cdot 0$

خطوة 8.7

اضرب $0$ في $0$ .

$0$