حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} 4 x - \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}$

خطوة 1

اضرب لحذف الجذور من بسط الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{(4 x - \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}) (4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6})}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وسّع بسط الكسر باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

$lim_{x \to \infty} \frac{16 x^{2} + 4 x \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6} - 4 x \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6} - {\sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}^{2}}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

خطوة 2.2

بسّط.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x - 6}{4 x + \sqrt{16 x^{2} - 5 x + 6}}$

خطوة 3

اقسِم بسط الكسر والقاسم على أعلى قوة لـ $x$ في القاسم، وهي $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.1.1.2

اقسِم $5$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{- 6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{\frac{4 x}{x} + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2.2.1.2

اقسِم $16$ على $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{- 5 x}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- 5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{x \cdot - 5}{x \cdot x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 + \frac{- 5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x}}{4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.5

احسِب قيمة حد $5$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{5 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 4.6

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 6.2

احسِب قيمة حد $4$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 6.3

انقُل النهاية أسفل علامة الجذر.

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{lim_{x \to \infty} 16 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 6.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{lim_{x \to \infty} 16 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 6.5

احسِب قيمة حد $16$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 6.6

انقُل الحد $5$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 7

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x}$ يقترب من $0$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{2}}}}$

خطوة 8

انقُل الحد $6$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{2}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{5 - 6 \cdot 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $- 6$ في $0$ .

$\frac{5 + 0}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

خطوة 10.1.2

أضف $5$ و $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot 0}}$

خطوة 10.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 5$ في $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0 + 6 \cdot 0}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $6$ في $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0 + 0}}$

خطوة 10.2.3

أضف $16 + 0$ و $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16 + 0}}$

خطوة 10.2.4

أضف $16$ و $0$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{16}}$

خطوة 10.2.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{5}{4 + \sqrt{4^{2}}}$

خطوة 10.2.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{5}{4 + 4}$

خطوة 10.2.7

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{5}{8}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5}{8}$

الصيغة العشرية:

$0.625$