حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{θ \to 0} \frac{θ}{\sin (θ)}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{θ \to 0} θ}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.2

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة حد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة الجيب متصلة.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

خطوة 1.3.2

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

خطوة 1.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.3.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 1.4

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{0}{0}$

خطوة 2

بما أن $\frac{0}{0}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{θ \to 0} \frac{θ}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ هو $n θ^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

خطوة 3.3

مشتق $\sin (θ)$ بالنسبة إلى $θ$ يساوي $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{1}{\cos (θ)}$

خطوة 4

حوّل من $\frac{1}{\cos (θ)}$ إلى $\sec (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \sec (θ)$

خطوة 5

انقُل النهاية داخل الدالة المثلثية نظرًا إلى أن دالة القاطع متصلة.

$\sec (lim_{θ \to 0} θ)$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $θ$ بالتعويض عن $θ$ بـ $0$ .

$\sec (0)$

خطوة 7

القيمة الدقيقة لـ $\sec (0)$ هي $1$ .

$1$